| 13986122 15360 8522 910 1ния располагаются в порядке убывания вероятностей и полученный ряд делится на 2 части с вероятностями, по возможности близкими друг к другу. В качестве 1-го двоичного знака принимают 0 в 1-й части и 1 - во 2-й. Подобным же образом делят пополам каждую из частей и выбирают 2-й двоичный знак и т. д., пока не придут к частям, содержащим только по одному сообщению.
Пример 1. Пусть n = 4 и p1 = 9/16, р2 = р3 = 3/16, р4= 1/16. Применение метода иллюстрируется табл.:
xi
рi
Кодовое обозначение
X1
9/16
0
x2
3/16
1
0
Х3
3/16
1
1
0
X4
1/16
1
1
1
В данном случае L =1x9/16 + 2x 3/16 +3x3/16+3x1/16=27/16=1.688, и можно показать, что никакой Др. код не даёт меньшего значения. В то же время Н = 1,623. Вгё сказанное применимо и к случаю, когда алфавиг нового кода содержит не 2, как предполагалось выше, а т>2 букв. При этом лишь величина Н в формулах (1) и (2) должна быть заменена величиной H/log2m.
Задача о "сжатии" записи сообщений в данном алфавите (т. е. задача об уменьшении избыточности) может быть решена на основе метода Шеннона - Фэно. Действительно, с одной стороны, если сообщения представлены последовательностями букв длины N из те-буквенного алфавита, то их средняя длина LN после К. всегда удовлетворяет неравенству LN>=NH/log2 т, где Н - энтропия источника на букву. С другой стороны, при сколь угодно малом e>0 можно добиться выполнения при всех достаточно больших N неравенства
[9-3.jpg]
С этой целью пользуются К. "блоками": по данному е выбирают натуральное число 5 и делят каждое сообщение на равные части -"блоки", содержащие по 5 букв. Затем эти блоки кодируют методом Шеннона - Фэно в тот же алфавит. Тогда при достаточно больших N будет выполнено неравенство (3). Справедливость этого утверждения легче всего понять, рассматривая случай, когда источником является последовательность независимых символов 0 и 1, появляющихся с вероятностями соответственно р и q, p<>q. Энтропия на блок равна 5-кратной энтропии на одну букву, т. е. равна sH = = s(plog2l/p + qlog2l/q). Кодовое обозначение блока требует в среднем не более sH+ 1двоичных знаков. Поэтому для сообщения длины N букв LN=<(1 + N/S) (sH + + 1) = N(H+1/s) (1 + s/N), что при достаточно больших s и N/s приводит к неравенству (3). При таком К. энтропия на букву приближается к своему макс, значению - единице, а избыточность - к нулю.
Пример 2. Пусть источником сообщений является последовательность независимых знаков 0 и 1, в к-рой вероятность появления нуля равна р = 3/4, а единицы q = 1/4 Здесь энтропия Н на букву равна 0,811, а избыточность - 0,189. Наименьшие блоки (s = 2), т. е. 00, 01, 10, 11, имеют соответственно вероятности р2 = 9/1б, pq = 3/i6, qp = = 3/i6, q2 = Vie. Применение метода Шеннона - Фэно (см. пример 1) приводит к правилу К.: 00 ->0, 01->10, 10->110, 11-МИ. При этом, напр., сообщение 00111000... примет вид 01111100... На каждую букву сообщения в прежней форме приходится в среднем 27/32 = 0,844 буквы в новой форме (при нижней границе коэффициента сжатия, равной Н = = 0,811). Энтропия на букву в новой последовательности равна 0,811/0,844 = = 0,961, а избыточность равна 0,039.
К., уменьшающее помехи, превратилось в большой раздел теории информации, со своим собственным математич. аппаратом, в значит, мере чисто алгебраическим (см. Канал, Шеннона теорема и лит. при этих статьях). Ю. В. Прохоров.
10.htm
КОЛЕБАНИЯ, движения (изменения состояния), обладающие той или иной степенью повторяемости. При К. маятника (рис. 1, а) повторяются отклонения его в ту и другую сторону от вертикального положения. При К. пружинного маятника - груза, висящего на пружине (рис. 1, б),- повторяются отклонения его вверх и вниз от нек-рого среднего положения. При К. в электрич. контуре, бладающем ёмкостью С и индуктивностью L (рис. 2), повторяются величина и знак заряда q на каждой пластине конденсатора. К. маятника происходят потому, что: 1) сила тяжести возвращает отклонённый маятник в положение равновесия; 2) вернувшись в положение равновесия, маятник, обладая скоростью, продолжает двигаться (по инерции) и снова отклоняется от положения равновесия в сторону, противоположную той, откуда он пришёл. К. груза (рис. 1, б) происходят потому, что: 1) упругая сила сжатой или растянутой пружины возвращает груз из смещённого вверх или вниз положения в положение равновесия; 2) вернувшись в положение равновесия, груз обладает скоростью и по инерции "проскакивает" через это положение, чем вызывается растяжение (или сжатие) пружины. К. в электрич. контуре происходят потому, что: 1) разность потенциалов между обкладками заряженного конденсатора вызывает появление тока i в катушке; 2) ток не прекращается в тот момент, когда конденсатор полностью разряжен: благодаря индуктивности катушки ток продолжает течь дальше, перезаряжая конденсатор (см. Электрические колебания).
Физика и техника имеют дело с К., весьма разнообразными по своей физич. природе, характеру и степени повторяемости, быстроте смены состояний, "механизму" возникновения. По своей физич. природе могут быть выделены, в частности, К.: а) механические, напр. К. маятника, моста, корабля на волне, струны; К. плотности и давления воздуха при распространении в нём упругих (акустических) волн, в частности слышимого звука; б) электромагнитные, напр. К. в колебательном контуре (рис. 2), объёмном резонаторе, волноводе. К. напряжённостей электрич. и магнитного полей в радиоволнах, волнах видимого света и любых др. электромагнитных волнах; в) электромеханические (К. мембраны телефона, пьезокварцевого или магнитострикционного излучателя ультразвука); г) химические (К. концентрации реагирующих веществ при т. н. периодич. химич. реакциях); д) термодинамические (напр., т. н. поющее пламя) и др. тепловые автоколебания, встречающиеся в акустике, а также в нек-рых типах реактивных двигателей. Большой интерес в астрофизике представляют К. яркости цефеид. Таким образом, К. охватывают огромную область физич. явлений и технич. процессов. В частности, К. имеют первостепенное значение в судостроении, самолётостроении, электротехнике, технике автоматич. регулирования. На их использовании основана вся радиотехника и технпч. акустика. К. встречаются также в метеорологии, химии, физиологии (напр., пульсации сердца) и в ряде др. естеств. наук.
К. присущи нек-рые характерные закономерности, одинаковые для К. различной физич. природы. Вследствие этого возникла область физики - теория К., занимающаяся исследованием общих закономерностей К. Математич. аппаратом теории К. являются гл. обр. дифференциальные уравнения. Существуют группы К. различной физич. природы, к-рым соответствуют аналогичные дифференциальные уравнения [напр., К. маятника, груза на пружине и электрич. контура (см. ниже); часов и лампового генератора; упругого стержня и электрич. кабеля]. Аналогичность этих уравнений отображает общность нек-рых объективно существующих закономерностей, присущих К. этой группы. Однако аналогии между К. различной физич. природы, как и всякие аналогии, ограничены определёнными рамками; они охватывают далеко не все существенные черты К.
Исследование К. маятника, предпринятое в нач. 17 в. итал. учёным Г. Галилеем, а затем голл. учёным X. Гюйгенсом, сыграло важнейшую роль в возникновении классич. механики. Изучение в кон. 19 в. электромагнитных К. англ, физиком У. Томсоном (Кельвином) имело большое значение для понимания электромагнитных явлений. Много важных сведений и результатов по теории К. содержится в трудах англ, физика Дж. Рэлея.
Рис. 1. а - колебания маятника; 6 - колебания груза на пружине.
Рис. 2. Электрический колебательный контур; С - ёмкость; L - индуктивность; q - заряд на обкладках конденсатора; I - ток в цепи.
Учение о К. многим обязано трудам русских учёных. Изобретение радио А. С. Поповым (1895) явилось важнейшим технич. применением электромагнитных колебаний. П. Н. Лебедев посвятил ряд выдающихся исследований получению электромагнитных К. очень высокой частоты, ультразвуковым К. и поведению вещества под действием быстроперемениых электрических полей. А. Н. Крылову принадлежат фундаментальные исследования по теории качки корабля. Большое значение в области изучения К., в частности нелинейных К., имели работы сов. учёных Л. И. Мандельштама, Н. Д. Папалекси, Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, А. А. Андронова и др. Работы А. Н. Колмогорова и А. Я. Хинчина содержат математич. основу теории случайных процессов в колебательных системах, получившей важное практич. значение.
Кинематика колебаний. С точки зрения кинематики можно выделить нек-рые важнейшие типы К. (рис. 3), где колеблющаяся величина s может быть любой физич. природы (механич. смещение твёрдого тела, уплотнение газа, сила тока и т. д.). Рис. 3,rt поясняет общий случай периодического К.; здесь каждое значение s повторяется неограниченное число раз через одинаковые промежутки времени t = Т:
[9-4.jpg]
Т наз. периодом. Число К. в единицу времени v = 1/Т наз. частотой К.
Рис. 3. Различные виды колебаний: а - общий случай периодического колебания; 6 - прямоугольные колебания; в - пилообразные; г - синусоидальные; д -затухающие; е - нарастающие; ж - амплитудно-модулированные; з - частотно-модулированные; и - колебания, модулированные по амплитуде и по фазе; к - колебания, амплитуда и фаза к-рых - случайные функции; л - беспорядочные колебания; s - колеблющаяся величина; t - время.
Частными случаями периодич. К. являются К. прямоугольные (рис. 3, б), пилообразные (рис. 3, в), синусоидальные (или гармонические, рис. 3, г). В последнем случае
[9-5.jpg]
где А, со, Ф- постоянные. Величина А (макс, значение s) наз. а м п л и т уд о и. Т. к. значения cos(wt - ф) повторяются при возрастании аргумента на 2 л, то wТ = 2л и, следовательно,
[9-6.jpg]
Величина со наз. круговой, или циклической, частотой, равна числу К. за 2я единиц времени. Функция времени cot - ф наз. ф аз ой К., постоянная ф - начальной фазой (часто её наз. просто фазой). На рис. 3, д изображено затухающее К.
[9-7.jpg]
где А, 8, со, ф - постоянные. А наз. начальной амплитудой, Ае-ы - мгновенным значением амплитуды, 6 - коэффициент затухания, т = = 1/6 - временной постоянной (см. также Декремент затухания). Величина о здесь положительна. При отрицат. знаке 8 К. является нарастающим (рис. 3, е). Величины cot - ф, to, ф имеют те же названия, что и в случае синусоидального К. Хотя затухающее К. не является точно периодическим, величина
[9-8.jpg]
также наз. периодом.
В физике и радиотехнике большое значение имеют модулированные К., т. е. К. вида
[9-9.jpg]
причём функции A(t), ф(t) меняются медленно по сравнению с cos tat (со - постоянная). Если cp(t) = const, то К. наз. амплитудно-модулированным (рис. 3, ж), если A(t) = const (рис. 3, з) - модулированным по фазе (или по частоте; см. Модуляция колебаний). В общем случае (рис. 3, и) К. модулированы как по амплитуде, так и по фазе. Рис. 3, ж, з, и соответствуют периодич. амплитудной и фазовой модуляции: A(t) и ср(?) - периодич. функции. Важное значение в технике (радиотелефония, телевидение) и в физике имеет случай, когда A(t) или ф(?), или же обе одновременно являются т. н. случайными функциями (рис. 3, к). Часто в природе и технике встречаются беспорядочные К. (рис. 3, л), напр, белый свет, акустич. и электрич. "белый" шум и т. п.
Ни в природе, ни в технике никогда не встречаются строго периодические (в частности, строго гармонические) К. Тем не менее гармонические К. весьма важны по двум причинам. 1) В природе и технич. устройствах часто возникают К., мало отличающиеся на протяжении достаточно большого времени от гармонических. 2) Многие физич. системы, принадлежащие к классу спектральных приборов в широком смысле этого слова или гармонич. анализаторов, преобразуют произвольные К. в набор К., близких к гармоническим. Когда говорят о гармонич. К., всегда имеют в виду К., лишь близкие к гармоническим. Гармонич. К. даже одинаковой физич. природы (К. давления воздуха, напряжённости электрич. поля), но различной частоты могут обладать (наряду с аналогичными) резко различающимися свойствами; они могут совершенно по-разному воздействовать на те или иные физич. системы и живые организмы и, в частности, на органы чувств человека и животных (см. Слух, Зрение).
Возникновение колебаний. Здесь рассматривается возникновение К. в системе, не получающей К. извне, а являющейся источником К. В случае, когда система приходит в К. под действием К., подводимых извне, говорят не о возникновении К., а о воздействии К. на систему и о преобразовании их системой. В пассивных (не содержащих источников энергии) системах такое воздействие вызывает вынужденные колебания. Существует 3 основных типа К. в системах, являющихся источниками К.1)Свободн ы е (или собственные) К., происходящие, когда система предоставлена самой себе после нарушения равновесия вмешательством извне, напр. К. пружинного маятника (рис. 1, б) и К. тока в электрич. контуре (рис. 2).
Свободные К. пружинного маятника и колебательного контура относятся к частному типу свободных К. в линейных колебательных системах (т. е. системах, обладающих параметрами, практически неизменными, и описываемых с достаточной точностью линейными дифференциальными уравнениями) с одной степенью свободы. В линейных системах с N степенями свободы (N > 1) свободные К. в каждой точке являются суперпозицией N К. (см. Нормальные колебания). В линейных распределённых системах (если отвлечься от атомистич. структуры вещества), напр. струне, стержне, трубе, а также в электрич. кабеле, объёмном резонаторе, свободные К. в каждой точке являются суперпозицией бесконечного числа К. Если восстанавливающая сила, т. е. сила, возвращающая систему к положению равновесия, не пропорциональна отклонению от него, свободные К. описываются нелинейным дифференциальным уравнением, напр, в случае маятника, когда амплитуду нельзя считать очень малой. Такие системы наз. нелинейными. Здесь, в отличие от линейных систем, свободные К. (даже если не учитывать затухания) не синусоидальны, и, кроме того, период их зависит от начальных условий, напр. у маятника период свободных К. тем больше, чем больше амплитуда. Лишь в пределе, когда она стремится к нулю, система становится линейной, а её К.изохронными: период не зависит от амплитуды.
2)Флуктуационные К., происходящие в результате теплового движения вещества. Поскольку маятник) гр |
