| 13986122 15360 8522 910 1а первый план выступает задача описания возбуждений электромагнитного поля. Если энергия "частицы возбуждения" равна E, а импульс р, то длина волны и частота соответствующей ей волны определяются формулами (1). Носитель этой порции энергии и импульса - квант свободного электромагнитного поля, или фотон. Т.о., рассмотрение свободного электромагнитного поля сводится к рассмотрению фотонов.
Исторически квантовая теория электромагнитного поля начала развиваться первой и достигла известной завершённости; поэтому квантовой теории электромагнитных процессов - квантовой электродинамике - отводится в статье основное место. Однако, кроме электромагнитного поля, существуют и др. типы физич. полей: мезонные поля различных типов, поля нейтрино и антинейтрино, нуклонные, гиперонные и т. д. Если физич. поле является свободным (т. е. не испытывающим никаких взаимодействий, в т. ч. и самовоздействия), то его можно рассматривать как совокупность невзаимодействующих квантов этого поля, к-рые часто просто называют частицами данного поля. При наличии взаимодействий (напр., между физич. полями различных типов ) независимость квантов утрачивается, а когда взаимодействия начинают играть доминирующую роль в динамике полей, утрачивается и плодотворность самого введения квантов этих полей (по крайней мере, для тех этапов процессов в этих полях, для к-рых нельзя пренебречь взаимодействием). Квантовая теория таких полей недостаточно разработана и в дальнейшем почти не обсуждается.
5. Квантовая теория поля и релятивистская теория. Описание частиц высоких энергий должно проводиться в рамках релятивистской теории, т. е. в рамках специальной теории относительности Эйнштейна (см. Относительности теория). Эта теория, в частности, устанавливает важное соотношение между энергией E, импульсом и массой т частицы:
[1138-41.jpg]
(с - универсальная постоянная, равная скорости света в пустоте, с =3·1010 см/сек). Из (2) видно, что энергия частицы не может быть меньше тс2. Энергия, конечно, не возникает чиз ничего". Поэтому минимальная энергия, необходимая для образования частицы данной массы m (она наз. массой покоя), равна mc2.
Если рассматривается система, состоящая из медленных частиц, то их энергия может оказаться недостаточной для образования новых частиц. В такой "нерелятивистской" системе число частиц может оставаться неизменным. Это и обеспечивает возможность применения для её описания квантовой механики.
Всё изложенное выше относится к порождению частиц, имеющих отличную от нуля массу покоя. Но у фотона, напр., масса покоя равна нулю, так что для его образования совсем не требуется больших, релятивистских, энергий. Однако и здесь невозможно обойтись без релятивистской теории, что ясно хотя бы из того, что нерелятивистская теория применима лишь при скоростях, много меньших скорости света с, а фотон всегда движется со скоростью с.
Кроме необходимости рассматривать релятивистскую область энергий, есть ещё одна причина важности теории относительности для К. т. п.: в физике элементарных частиц, изучение к-рых является одной из осн. (и ещё не решённых) задач К. т. п., теория относительности играет фундаментальную роль. Это делает развитие релятивистской К. т. п. особенно важным.
Однако и нерелятивистская К. т. п. представляет значит, интерес хотя бы потому, что она успешно используется в физике твёрдого тела.
II. Квантовая электродинамика
1. Квантованное свободное поле.Вакуумное состояние поля, или физический вакуум. Рассмотрим электромагнитное поле, или - в терминах квантовой теории - поле фотонов. Такое поле имеет запас энергии и может отдавать её порциями. Уменьшение энергии поля на hv означает исчезновение одного фотона частоты , или переход поля в состояние с уменьшившимся на единицу числом фотонов. В результате последовательности таких переходов в конечном итоге образуется состояние, в к-ром число фотонов равно нулю, и дальнейшая отдача энергии полем становится невозможной. Однако, с точки зрения К. т. п., электромагнитное поле не перестаёт при этом существовать, оно лишь находится в состоянии с наименьшей возможной энергией. Поскольку в таком состоянии фотонов нет, его естественно назвать вакуумным состоянием электромагнитного поля , или фотонным вакуумом. Следовательно, вакуум электромагнитного поля - низшее энергетич. состояние этого поля.
Представление о вакууме как об одном из состояний поля, столь необычное с точки зрения классич. понятий, является физически обоснованным. Электромагнитное поле в вакуумном состоянии не может быть поставщиком энергии, но из этого не следует, что вакуум вообще никак не может проявить себя. Физич. вакуум - не "пустое место", а состояние с важными свойствами, к-рые проявляются в реальных физич. процессах (см. ниже).
Аналогично, и для др. частиц можно ввести представление о вакууме как о низшем энергетическом состоянии полей этих част и ц. При рассмотрении взаимодействующих полей вакуумным наз. низшее энергетич. состояние всей системы этих полей.
Если полю, находящемуся в вакуумном состоянии, сообщить достаточную энергию, то происходит возбуждение поля, т.е. рождение частицы - кванта этого поля. T. о., появляется возможность описать порождение частиц как переход из "ненаблюдаемого" вакуумного состояния в состояние реальное. Такой подход позволяет перенести в К. т. п. хорошо разработанные методы квантовой механики - свести изменение числа частиц данного поля к квантовым переходам этих частиц из одних состояний в другие.
Взаимные превращения частиц, порождение одних и уничтожение других, можно количественно описывать при помощи т. н. метода вторичного квантования [предложенного в 1927 П. Дираком и получившего дальнейшее развитие в работах В. А. Фока (1932)].
2. Вторичное квантование. Переход от классич. механики к квантовой называют просто квантованием, или реже - "первичным квантованием". Как уже говорилось, такое квантование не даёт возможности описывать изменение числа частиц в системе. Осн. чертой метода вторичного квантования является введение операторов, описывающих порождение и уничтожение частиц. Поясним действие этих операторов на простом примере (или модели) теории, в к-рой рассматриваются одинаковые частицы, находящиеся в одном и том же состоянии (напр., все фотоны считаются имеющими одинаковую частоту, направление распространения и поляризацию). T. к. число частиц в данном состоянии может быть произвольным, то этот случай соответствует бозе-частицам, или бозонам, подчиняющимся Базе - Эйнштейна статистике.
В квантовой теории состояние системы частиц описывается волновой функцией или вектором состояния. Введём для описания состояния с N частицами вектор состояния N; квадрат модуля N, |N|2, определяющий вероятность обнаружения N частиц, обращается, очевидно, в 1, если N достоверно известно. Это означает, что вектор состояния с любым фиксированным N нормирован на 1. Введём теперь оператор уничтожения частицы а- и оператор рождения частицы a+. По определению, а- переводит состояние с N частицами в состояние с N - 1 частицей, т. е.
[1138-42.jpg]
Аналогично, оператор порождения частицы а+ переводит состояние N в состояние с N + 1 частицей:
[1138-43.jpg]
[множители N1/2 в (3) и (N + 1)1/2 в (4) вводятся именно для выполнения условия нормировки: |N|2 = 1]. В частности, при N=O +0= 1, где 0 - вектор состояния, характеризующий вакуум; т. е. одночастичное состояние получается в результате порождения из "вакуума" одной частицы. Однако a-0=0, поскольку невозможно уничтожить частицу в состоянии, в к-ром частиц нет; это равенство можно считать определением вакуума. Вакуумное состояние 0 имеет в К. т. п. особое значение, т. к. из него при помощи операторов a+ можно получить любое состояние. Действительно, в рассматриваемом случае (когда состояние всей системы определяется только числом частиц)
[1138-44.jpg]
Легко показать, что порядок действия операторов а- и а+ не безразличен. Действительно, а- (a+ 0) = a-1=0, в то время как + (-0) = 0. Т. о., (а-а+ - +-)0 = 0, или
[1138-45.jpg]
т. е. операторы а+ и a- являются не-переставимыми (некоммутирующими). Соотношения типа (6), устанавливающие связь между действием двух операторов, взятых в различном порядке, наз. перестановочными соотношениями, или коммутационными соотношениями, для этих операторов, а выражения вида AB -BA = [А, В] - коммутаторами операторов А и В.
Если учесть, что частицы могут находиться в различных состояниях, то, записывая операторы порождения и уничтожения, надо дополнительно указывать, к какому состоянию частицы эти операторы относятся. В квантовой теории состояния задаются набором квантовых чисел, определяющих энергию, спин и др. физич. величины; для простоты обозначим всю совокупность квантовых чисел одним индексом п: так, а+n обозначает оператор рождения частицы в состоянии с набором квантовых чисел п. Средние числа частиц, находящихся в состояниях, соответствующих различным п, называются числами заполнения этих состояний.
Рассмотрим выражение а-пa+m0. Сначала на 0 действует "ближайший" к нему оператор а+m; это отвечает порождению частицы в состоянии т. Если п = т, то последующее действие оператора а~п приводит опять к 0, т. е. а-пa+n0=0· Если п<>т, то а-пa+m0=0, поскольку невозможно уничтожение таких частиц, которых нет (оператор а-пописывает уничтожение частиц в таких состояниях п, каких не возникает при действии а+т на 0. С учётом различных состояний частиц перестановочные соотношения для операторов рождения и уничтожения имеют следующий вид:
[1138-46.jpg]
Однако существуют поля, для к-рых связь между произведением операторов рождения и уничтожения, взятых в различном порядке, имеет др. вид: знак минус в (7) заменяется на плюс (это наз. заменой коммутаторов на антикоммутатор ы),
[1138-47.jpg]
[эти соотношения также относят к классу перестановочных соотношений, хотя они и не имеют вида (6)]. Операторы, подчиняющиеся соотношениям (8), необходимо вводить для полей, кванты к-рых имеют полуцелый спин (т. е. являются фермионами) и вследствие этого подчиняются Паули принципу, согласно к-рому в системе таких частиц (напр., электронов) невозможно существование двух или более частиц в одинаковых состояниях (в состояниях с одинаковым набором всех квантовых чисел). Действительно, построив вектор состояния, содержащего 2 частицы (двухчастичного состояния), а-пa+m0, нетрудно убедиться [учитывая (8)], что при n = m он равен самому себе с обратным знаком; но это возможно только для величины, тождественно равной нулю. T. о., если операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют перестановочным соотношениям (8), то состояния с двумя (или более) частицами, имеющими одинаковые квантовые числа, автоматически исключаются. Такие частицы подчиняются Ферми - Дирака статистике. Для полей же, кванты к-рых имеют целый спин, операторы рождения и уничтожения частиц удовлетворяют соотношениям (7); здесь возможны состояния с произвольным числом частиц, имеющих одинаковые квантовые числа.
Наличие двух типов перестановочных соотношений имеет фундаментальное значение, поскольку оно определяет два возможных типа статистик.
Необходимость введения некоммутирующих операторов для описания систем с переменным числом частиц - типичная черта вторичного квантования.
Заметим, что "первичное квантование" также можно рассматривать как переход от классич. механики, в к-рой координаты q и импульсы являются обычными числами (т. е., конечно, qp =рq)> к такой теории, в к-рой q и заменяются некоммутирующими операторами: q->q, р->р, qp<>pq. Переход от классич. теории поля к квантовой (напр., в электродинамике) производится аналогичным методом, но только роль координат (и импульсов) должны при этом играть величины, описывающие распределение поля во всём пространстве и во все моменты времени. Так, в классич. электродинамике поле определяется значениями напряжённостей электрического E и магнитного H полей (как функций координат и времени). При переходе к квантовой теории E и H становятся операторами, к-рые не коммутируют с оператором числа фотонов в поле.
В квантовой механике доказывается, что если 2 к.-л. оператора не коммутируют, то соответствующие им физ. величины не могут одновременно иметь точные значения. Отсюда следует, что не существует такого состояния электромагнитного поля, в к-ром были бы одновременно точно определёнными напряжённости поля и число фотонов. Если, в силу физич. условий, точно известно число фотонов, то совершенно неопределёнными (способными принимать любые значения) оказываются напряжённости полей. Если же известны точно эти напряжённости, то неопределённым является число фотонов. Вытекающая отсюда невозможность одновременно положить равными нулю напряжённости поля и число фотонов и является физич. причиной того, что вакуумное состояние не представляет собой просто отсутствие поля, а сохраняет важные физич. свойства.
3. Полевые методы в квантовой теории многих частиц. Математич. методы К. т. п. (как уже отмечалось) находят применение при описании систем, состоящих из большого числа частиц: в физике твёрдого тела, атомного ядра и т. д. Роль вакуумных состояний в твёрдом теле, напр., играют низшие энергетич. состояния, в к-рые система переходит при минимальной энергии (т. е. при темп-ре Т->0). Если сообщить системе энергию (напр., повышая её темп-ру), она перейдёт в возбуждённое состояние. При малых энергиях процесс возбуждения системы можно рассматривать как образование нек-рых элементарных возбуждений - процесс, подобный порождению частиц в К. т. п. Отд. элементарные возбуждения в твёрдом теле ведут себя подобно частицам - обладают определённой энергией, импульсом, спином. Они наз. квазичастицами. Эволюцию системы можно представить как столкновение, рассеяние, уничтожение и порождение квазичастиц, что и открывает путь к широкому применению методов К. т. п. (см. Твёрдое тело). Одним из наиболее ярких примеров, показывающих плодотворность методов К. т. п. в изучении твёрдого тела, является теория сверхпроводимости.
4. Кванты - переносчики взаимодействия. В классич. электродинамике взаимодействие между зарядами (и токами) осуществляется через поле: заряд порождает поле и это поле действует на другие заряды. В квантовой теории взаимодействие поля и заряда выглядит как испускание и поглощение зарядом квантов поля - фотонов. Взаимодействие же между зарядами, напр, между двумя электронами, в К. т. п. является результатом их обмена фотонами: каждый из электронов испускает фотоны (кванты переносящего взаимодействие электромагнитного поля), к-рые затем поглощаются др. электроном. Это справедливо и для др. физич. полей: взаимодействие в К.т.п. - результат обмена квантами поля.
В этой достаточно наглядной картине взаимодействия есть, однако, момент, нуждающийся в дополнит, анализе. Пока взаимодействие не началось, каждая из частиц является свободной, а свободная частица не может ни испускать, ни поглощать квантов. Действительно, рассмотрим свободную неподвижную частицу (если частица равномерно движется, всегда можно перейти к такой инерциальной системе отсчёта, в к-рой она покоится). Запаса кинетич. энергии у такой частицы нет, п |
