БЭС:
Большой
Советский
Энциклопедический
Словарь
Термины:

ДРЕНАЖНЫЕ ТРУБЫ, часть конструкции горизонтального дренажа.
ЕДИНАЯ ДЕМОКРАТИЧЕСКАЯ ЛЕВАЯ ПАРТИЯ (Eniaia Demokratike Aristera, ЭДА).
ЖЕЛЕЗО САМОРОДНОЕ, по условиям нахождения различаются теллурическое.
ЖУРНАЛИСТСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ, система подготовки лит. сотрудников.
КАССОВЫЙ ПЛАН Госбанка СССР.
КЛИСТРОН [от греч. klyzo - ударять, окатывать (волной) и (элек)трон].
АЙСАН, озеро в межгорной котловине среди отрогов.
ЗАЩИТА ОРГАНИЗМА ОТ ИЗЛУЧЕНИЙ ионизирующих.
ЗЕРКАЛЬНО-ЛИНЗОВЫЙ ТЕЛЕСКОП, катадиоптрический телескоп.
ЗУБР (Bison bonasus), европейский дикий лесной бык.

Главная страница
Поиск по сайту
Оглавление страниц
ИНВАРИАНТЫ (от лат. invarians, род. падеж invariantis - неизменяющийся), числа, алгебраич. выражения и т. п., связанные с к.-л. математич. объектом и остающиеся неизменными при определённых преобразованиях этого объекта или системы отсчёта, в к-рой описывается объект.
Фирмы: адреса, телефоны и уставные фонды - справочник предприятий оао в экономике.
Большая Советская Энциклопедия - энциклопедический словарь:А-Б В-Г Д-Ж З-К К-Л М-Н О-П Р-С Т-Х Ц-Я

139861221536085229101енделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня (числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна (21 + 1) (2s + 1) = 2(2/ + 1). Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. Атом).

Обменное взаимодействие. Молекула. Молекула представляет собой систему ядер и электронов, между к-рыми действуют электрич. (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т.к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют нек-рое распределение отрицат. заряда, в поле к-рого находятся ядра. В классич. механике и электростатике доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (к-рую, как говорилось выше, нельзя объяснить на основе законов классич. физики), невозможно без специфически квантовомеханич. закономерностей объяснить устойчивость молекул. Особенно непонятным с точки зрения классич. представлений является существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с т. н. кова-лентной химич. связью (напр., простейшей молекулы - H2). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода H2, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет собой произведение двух функций, одна из к-рых зависит только от координат, а другая- только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов. Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

~ [a(1)b(2) + b(1)a(2)], (25)

где a(i), b(i) - волновые функции i-гo электрона (i = 1,2) соответственно у ядра а и b.

Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрического заряда р=е||2=е. При учёте свойств симметрии координатной волновой функции (25), помимо плотности обычного вида

e|a(1)|2|b(2)|2, е|b(1)|2|a(2)Р,

соответствующих движению отдельных электронов у разных ядер, появляется плотность вида

ea(1)b(1)b(2)a(2), eb(1)a(1)a(2)b(2)

Она наз. обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицат. заряда между двумя положительно заряженными ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае кова-лентной химической связи.

Очевидно, что при суммарном спине двух электронов, равном 1, координатная часть волновой функции антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицательный знак; это означает, что обменная плотность будет уменьшать плотность отрицат. электрич. заряда между ядрами, т. е. приводить как бы к дополнит, отталкиванию ядер.

T. о., симметрия волновой функции приводит к "дополнительному" обменному взаимодействию. Характерна зависимость обменного взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно спины не участвуют во взаимодействии - источником взаимодействия являются электрич. силы, зависящие только от расстояния между зарядами. Но в зависимости от ориентации спинов волновая функция, антисимметричная относительно полной перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). А от типа симметрии координатной части волновой функции зависит знак обменной плотности и, соответственно, эффективное притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Так, не участвуя непосредственно динамически во взаимодействии, спины электронов благодаря квантовомеханической специфике свойств тождественных частиц фактически определяют химическую связь.

Обменное взаимодействие играет существ, роль во MH. явлениях. Оно объясняет, напр., ферромагнетизм: благодаря обменному взаимодействию спиновые, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются параллельно друг другу. Огромное число явлений в конденсированных телах (жидкости, твёрдом теле) тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой функции для фермионов приводит к тому, что фермио-ны при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга (даже если между ними не действуют никакие силы). В то же время между бозонами, к-рые описываются симметричными волновыми функциями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в к.-л. состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат, напр., в основе явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квантовых генераторов и квантовых усилителей).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятивистская К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Математич. аппарат К. м. обладает логич. безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами математич. схемы и физич. величинами.

Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математич. аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для к-рых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, наз. векторами. T. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось нек-рым вектором - вектором состояния (с к-рым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного -"пространства состояний". Это позволяет использовать математич. аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку |>.

Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |> может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |> с любым др. вектором состояния |'>; оно обозначается как <'|> и является комплексным числом, причём

<'|>=. (26) Скалярное произведение вектора |> с самим собой, <|>, - положит, число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |> к др. вектору |'> (или произвести преобразование |>->|'>· Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор |> нек-рого линейного оператора L:
[1138-27.jpg]

При этом вектор |'> может отличаться от |> "длиной" и "направлением". Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов |1> и |2> получается суперпозиция преобразованных векторов:
[1138-28.jpg]

Важную роль для оператора L играют такие векторы |> = |>, для к-рых |'> совпадает по направлению с I), . е.
[1138-29.jpg]

Векторы |> наз. собственными векторами оператора L, а числа - его собственными значениями. Собств. векторы |х> принято обозначать просто |>, т. е. |> = = |>. Собств. значения образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор L имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы. Собств. значения эрмито-вого оператора L вещественны. Собств. векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собств. значениям, ортогональны друг к другу, т.е. <|'> = 0. (30) Из них можно построить ортогональный базис ("декартовы оси координат") в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, <|> = 1. Произвольный вектор |> можно разложить по этому базису:
[1138-30.jpg]

При этом:
[1138-31.jpg]

что эквивалентно теореме Пифагора; если |> нормирован на 1, то
[1138-32.jpg]

Принципиальное значение для построения математич. аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физич. величины существуют нек-рые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в к-рых физич. величина имеет определённое значение, наз. собственными состояниями этой величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собств. состояний к.-л. физич. величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собств. векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физ. величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т. д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор L. Собств. значение оператора L интерпретируются как возможные значения физич. величины L проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния |> - собств. вектор оператора L, то физич. величина L имеет определённое значение. В противном случае L принимает различные значения с вероятностью |сх|2, где сх - коэфф. разложения |> по |>:
[1138-33.jpg]

Коэфф. cx= <|> разложения |> в базисе |> наз. также волновой функцией в -представлении. В частности, волновая функция (x) представляет собой коэфф. разложения |> по собственным векторам оператора координаты
[1138-34.jpg]

Среднее значение L наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами Cx, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением
[1138-35.jpg]

Значение L можно найти непосредственно через оператор L и вектор состояния |> (без определения коэффициентов сх) по формуле:
[1138-36.jpg]

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физич. величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе h->0 рассматриваемые физич. величины принимали "классические" значения. Вместе с тем в К. м. вводятся нек-рые линейные эрмитовы операторы (напр.,отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т. д.), к-рым соответствуют измеримые физич. величины, не имеющие классич. аналогов (напр., чётность).

С операторами можно производить алгебраич. действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (к-рые в К. м. наз. с-числа-ми), операторы являются такими "числами" (q-числами), для к-рых операция умножения некоммутативна. Если L и M - два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |> в различном порядке даёт разные векторы: LM|><>ML|>, т. е. LM <> ML. Величина LM - ML обозначается как [L, M] и наз. коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. [L, M] = О, у них могут быть общие собств. векторы и, следовательно, наблюдаемые L и M могут одновременно иметь определённые (точные) значения и . В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если [L, M] = с, то LМ>|с|/2, где L, и М - среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

Возможна такая математич. формулировка, в к-рой формальный переход от классич. механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими -числами. Сохраняются и ур-ния движения, но теперь это ур-ния для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классич. механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса [х,р] =ih. Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга px>>h/2. Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х-) представлении. Тогда волновая функция есть (x), а оператор импульса - дифференциальный оператор
[1138-37.jpg]

Можно показать, что спектр его собств. значений непрерывен, а амплитуда вероятности <х|р> есть де-бройлевская волна (|р> - собств. вектор оператора импульса р). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н(р, х), то знание коммутатора [х, р] достаточно для нахождения [H, р], [H, х], а также уровней энергии как собств. значений оператора полной энергии H.

На основании определения момента количества движения Мz = хрy - урx, ... можно получить, что [Mx, Мy] = ihMz. Эти коммутац. соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собств. значения квадрата полного момента: M2= h2j(j+1), где квантовое число j-целое или полуцелое число, и его проекции Мг = тh, т = -j, -j+1,..., +j·

Ур-ния движения квантовомеханич. системы могут быть записаны в двух формах: в виде ур-ния для вектора состояния
[1138-38.jpg]

- шрёдингеровская форма ур-ния движения, и в виде ур-ния для операторов (q-чисел)
[1138-39.jpg]
- гейзенберговская форма ур-ний движения, наиболее близкая классич. механике. Из гейзенберговской формы ур-ний движения, в частности, следует, что ср. значения физич. величин изменяются по законам классич. механики; это положение наз. теоремой Эрен-ф е с т а.

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детермини-стична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |ф> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квантовым объектом в общем случае, строго говоря, непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханич. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квантовых объектов дополнит, степеней свободы-"скрытых параметров", учёт к-рых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классич. механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти "скрытые параметры" неизвестны и не учитываются. Одн