| 13986122 15360 8522 910 1состояния, описываемые такими волновыми функциями, наз. стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.
Общее решение временного ур-ния Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если
[1138-16.jpg]
то E = h1 с вероятностью |C1|2 и E= h2 с вероятностью |С2|2. Для энергии и времени существует соотношение неопределённостей: Et~h, (11) где E - дисперсия энергии, а t- промежуток времени, в течение к-рого энергия может быть измерена.
Трёхмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трёх измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трёх координат х,y,z (и времени): = (x,y,z,t), а волна де Бройля имеет вид
[1138-17.jpg]
где рх, р_у, pг - три проекции импульса на оси координат, а E = (р2х + p2y+"p2z)/2m. Соответственно имеются три соотношения неопределённостей:
[1138-18.jpg]
Временное ур-ние Шрёдингера имеет вид:
[1138-19.jpg]
Это ур-ние принято записывать в символич. форме
[1138-20.jpg]
где
[1138-21.jpg]
- дифференциальный оператор, наз. оператором Гамильтона, или гамильтонианом. Стационарным решением ур-ния (14) является
[1138-22.jpg]
где 0 - решение ур-ния Шрёдингера для стационарных состояний:
[1138-23.jpg]
При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда неск. разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния наз. в ы-рожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности - прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферич. координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами - широтой и азимутом . Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:
[1138-24.jpg]
Первый член (пропорциональный волне це Бройля, распространяющейся вдоль. оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный "радиальной волне де Бройля") - рассеянные. Функция f (, ) наз. амплитудой рассеяния; она определяет т. н. дифференциальное сечение рассеяния d, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:
d=|f(,)|2d, (18)
где d - элемент телесного угла , в к-рый происходит рассеяние.
Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетич. уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферич. координатами.
Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классич. механике, заданием момента количества движения, к-рый при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классич. механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения-вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид "угловой волны де Бройля" e'm'f, где - азимут, а число т так же связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. т = MzIh. T. к. углы и + 2 описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении на 2 должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что т может принимать только целочисленные значения: т = О, ±1, ±2,..., т. е. момент может быть равен
Мz = mh = 0, ±h, ±2h,··· (19)
Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), a Mz - не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции Mz момента количества движения на ось z (задаваемой числом т), можно одновременно точно задать величину момента M, определяемую целым числом /:
M2 = h2/(/+l), / = 0,1,2,... (20)
T. о., угловое движение даёт два квантовых числа - / и т. Число / наз. орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классич. механике от вытянутости орбиты). Число т наз. магнитным квантовым числом и при данном I может принимать значения т = О, ±1, ±2, ..., ±1 - всего 21 + 1 значений; от т энергия не зависит, т. к. само значение т зависит от выбора оси z, а поле имеет сферич. симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом I имеет (2/ + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от т лишь тогда, когда сферич. симметрия нарушается, напр, при помещении системы в магнитное поле (Зеема-на эффект).
При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, к-рый имеет вид М2/2тrг, как и в классич. механике (здесь т - масса частицы). При этом квадрат момента M2 следует заменить на величину h2l(l + 1). Решение ур-ния Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число - радиальное пrили главное п, к-рые связаны соотношением n = nr + 1 + 1, n, = = 0, 1, 2, ..., = 1, 2, 3,...В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподоб-ный атом) уровни энергии определяются формулой
[1138-25.jpg]
т. е. энергия зависит только от главного квантового числа п. Для многоэлектронных атомов, в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от /.
На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т.е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел / и т) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l=O (M2 = О) распределение электронной плотности сферически симметрично. T. о., квантовое движение при малых / совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со ср. значением радиуса r<>О в нек-рой степени, отвечает как бы классич. движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклонённых под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классич. механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r<>0). Это различие между квантовомеханиче-ским и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (напр., при l>>1 1, пr>>1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:
[1138-26.jpg]
В этом случае квантрвомеханич. законы движения приближённо переходят в классич. законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геомет-рич. оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >>h, где pL по порядку величины равно классич. действию для системы. В этих условиях квант действия h можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханич. законов в классические осуществляется при h -> О. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханич. явления, напр, обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.
Спин. В К. м. частица (как сложная, напр, ядро, так и элементарная, напр, электрон) может иметь собственный момент количества движения, наз. спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собств. момента количества движения имеет величину h2s(s+l), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s+1 значений от - hs до +hs с интервалом h. T. о., состояние частицы (2s+ I) - кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s+l поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0,1,2,...), так и полуцелым ('/2, 3/2, 5/2,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен 4/2 (в единицах h). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), - целый или нулевой, а из нечётного - полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (к-рый равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s + 1 = 3).
Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханич. ур-ние движения для системы N частиц получается соответствующим обобщением ур-ния Шрёдингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в ЗN-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды вероятности .
Если квантовомеханич. системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классич. механике. В классич. механике случай одинаковых частиц тоже имеет нек-рую особенность. Пусть, напр., столкнулись две одинаковые "классич." частицы (первая двигалась слева, а вторая - справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (напр., первая - вверх, вторая - вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц пошла, напр., вверх, поскольку частицы одинаковы,- практически надо учесть обе возможности (рис. 7,я и 7,6). Однако в принципе в классич. механике можно различить эти два процесса, т. к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с нек-рой неопределённостью, с "размытыми траекториями" (рис. 7,в).
Рис. 7.
В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые частицы становятся полностью неразличимыми - тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна частица пошла вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет.
Этот квантовомеханич. принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции, зависящей от координат обеих частиц, |(1,2)|2, где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.
|(1,2)|2=|(2,1)|2. (23)
Отсюда следует, что может быть два случая:
(1,2) = (2,1), (24,а) (1,2)=-(2,1). (24,6)
Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она наз. симметричной [случай (24,а)], а если меняет,- антисимметричной [случай (24,6)]. T. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой функции сохраняются во времени.
В системе из произвольного числа тождеств, частиц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса: частицы с симметричными волновыми функциями наз. бозонами, с антисимметричными - фермио-нами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым - фермионами (т.н. связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, пи-мезоны, К-мезоны - бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами, если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного числа частиц; этими свойствами обладают, напр., атомные ядра.
Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистич. свойства системы. Пусть, напр., невзаимодействующие тождеств, частицы находятся в одинаковых внешних условиях (напр., во внешнем поле). Состояние такой системы можно определить, задав числа заполнения - числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Но если тождеств, частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т. к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Это свойство наз. принципом запрета Паули. T. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения О или 1. T. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т. д. Для бозонов (имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханич. свойств тождеств, частиц существует два типа статистик частиц: Ферми - Дирака статистика для фермионов и Базе-Эйнштейна статистика для бозонов. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий 4He и др.
Принцип Паули является определяющим для понимания структуры перио-дич. системы элементов М |
