| 13986122 15360 8522 910 1овская церковь и кельи 17-18 вв.) и Сретенский монастыри; деревянная церковь Иоакима и Анны (17- 19 вв.); церкви: Входоиерусалимская, Петропавловская и др.- кон. 18 в.; Воскресенский собор (окончен в 1817). Застройка К. с кон. 18 в. велась по регулярному плану. "Соборный дом" (18 в.), присутственные места и торг, ряды (нач. 19 в.), жилые дома 19 в. К.- бальнеологич. и грязевой курорт. Леч. средства - торфяная грязь и минеральные воды сульфатно-хлоридные магниево-кальциевого натриевого типа (с глуб. 117 м, скважина № 12), используемые для питья, с хим. составом:
[1136-2.jpg]
Кашин. Вид города.
хлоридно-сульфатные натриево-магние-вые воды (с глуб. 302-384 м, скважина № 14) и хлоридные натриево-кальцие-вые воды (с глуб. 614-640 м, скважина № 22). Вода скважин № 14 и 22 используется для ванн. Лечение больных с заболеваниями органов движения и опоры, органов пищеварения, гинекологич., пе-риферич. нервной системы. Санаторий, водогрязелечебница, поликлиника.
1138.htm
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА, форма 2-й степени от п переменных x1, x2,..., xn, т. е. многочлен от этих переменных, каждый член к-рого содержит либо квадрат одного из переменных, либо произведение двух различных переменных. Общий вид К. ф. при п = 2:
ах12+bx22+ сх1х2, при п = 3:
ах12 + bx22 + cx32 + dx1x2 + ex1x3 + fx2x3,
где a, b, ...,f -к.-л. числа. Произвольная К. ф. записывается так:
[1137-1.jpg]
причем считают, что аij = aji. К. ф. от 2, 3 и 4 переменных непосредственно связаны с теорией линий (на плоскости) и поверхностей (в пространстве) 2-го порядка: в декартовых координатах уравнение линии и поверхности 2-го порядка, отнесённых к центру, имеет вид A(x) =1, т. е. его левая часть является К. ф.; в однородных координатах левая часть любого ур-ния линии и поверхности 2-го порядка является К. ф. При замене переменных x1, x2, ..., хnдр. переменными y1, y2, ..., y_п, являющимися линейными комбинациями старых переменных, К. ф. переходит в другую К. ф. Путём соответствующего выбора новых переменных (невырожденного линейного преобразования) можно привести К. ф. к виду суммы квадратов переменных, умноженных на нек-рые числа. При этом ни число квадратов (ранг К. ф.), ни разность между числом положительных и числом отрицательных коэффициентов при квадратах (сигнатура К. ф.) не зависят от способа приведения К. ф. к сумме квадратов (закон и н е р-ц и и). Указанное приведение можно осуществить даже специальными (т. н. ортогональными) преобразованиями. Геометрически в этом случае такое преобразование соответствует приведению линии или поверхности 2-го порядка к главным осям.
При рассмотрении комплексных переменных изучаются К. ф. вида
[1137-2.jpg]
где xj - число, комплексно сопряжённое с xj. Если, кроме того, такая К. ф. принимает только действительные значения (это будет, когда aij = aji), то её наз. эрмитовой. Для эрмитовых форм справедливы основные факты, относящиеся к действительным К. ф.: возможность приведения к сумме квадратов, инвариантность ранга, закон инерции.
Лит.: Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 3 изд., M., 1970.
КВАДРАТИЧНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ,квадратичное уклонение, стандартное отклонение величин x1, x2, ..., хnот а - квадратный корень из выражения
[1137-3.jpg]
Наименьшее значение К. о. имеет при а= х, где х - среднее арифметическое величин x1, x2, .., xn.
[1137-4.jpg]
В этом случае К. о. может служить мерой рассеяния системы величин x1, x2, .., xn.. Употребляют также более общее понятие взвешенного К. о.
[1137-5.jpg]
числа p1 , .. ., рп называют при этом весами, соответствующими величинам x1, x2, .., xn. Взвешенное К. о. достигает наименьшего значения при а, равном взвешенному среднему:
(p1x1 +···+ pnxn)/(p1 +···+pn).
В теории вероятностей К. о. xслучайной величины X (от её математич. ожидания) называют квадратный корень из дисперсии
[1137-6.jpg]
К. о. употребляют как меру качества статистич. оценок и наз. в этом случае квадратичной ошибкой. См. Ошибок теория.
КВАДРАТИЧНОЕ СРЕДНЕЕ, число (S), равное корню квадратному из среднего арифметического квадратов данных чисел a1, а2, ..., а„:
[1137-7.jpg]
КВАДРАТИЧНЫЙ ВЫЧЕТ, понятие теории чисел. К. в. о модулю т- число а, для которого сравнение х2= = a(mod т) имеет решение: при нек-ром целом x число х2 - а делится на т; если это сравнение не имеет решений, то а наз. квадратичным невычетом. Напр., если m = 11, то число 3 будет К. в., так как сравнение х2 = 3 (mod H) имеет решения х = 5, х = 6, а число 2 будет невычетом, т. к. не существует чисел х, удовлетворяющих сравнению х2= 2 (mod H). К. в. являются частным случаем вычетов степени n для n = 2. Если т равно простому нечётному числу р, то среди чисел 1, 2, ..., p- 1 имеется (р - 1)/2 К. в. и (р - 1)/2 квадратичных невычетов. Для изучения К. в. по простому модулю р вводится Лежандра символ (a/p), определяемый так: если а взаимно просто с р, то полагают (a/p) = 1, когда а- К. в., и (a/p)= -1, когда а- квадратичный невычет. Основной теоремой в этом круге вопросов является т. н. закон взаимности К. в.: если р и q - простые нечётные числа, то
[1137-8.jpg]
Эту закономерность открыл ок. 1772 Л. Эйлер, совр. формулировка дана А. Ле-жандром, полное доказательство впервые дал в 1801 К. Гаусс. Удобным обобщением символа Лежандра является Якоби символ. Закон взаимности К. в. получил многочисленные обобщения в теории алгебр, чисел. И. M. Виноградовым и др. учёными изучалось распределение К. в. и суммы значений символа Лежандра.
Лит.: Виноградов И. M., Основы теории чисел, 8 изд., M., 1972.
КВАДРАТНО - ГНЕЗДОВОЙ ПОСЕВ, способ посева с.-х. культур, при к-ром семена размещают по неск. штук в углах квадрата (прямоугольника). При К.-г. п. растения на поле размещаются равномернее и лучше используют почв, и воз д. питание и солнечный свет; сокращается расход семян; создаются условия для механизированной обработки междурядий в продольном и поперечном направлениях, позволяющей поддерживать почву рыхлой и чистой от сорняков; значительно снижаются затраты ручного труда. К.-г. п. применяют для посева кукурузы, подсолнечника, хлопчатника, клещевины, нек-рых овощных и др. культур. В СССР К.-г. п. впервые начал применяться в 1932-35 для кукурузы (в УССР). Расстояние между гнёздами и кол-во семян в гнезде устанавливают в зависимости от биол. особенностей культуры, почв. условий и запасов влаги в почве. Напр., в большинстве р-нов возделывания кукурузы на зерне и подсолнечника на семена лучшие результаты получают при расстоянии между гнёздами 70 X 70 см и 2 растениях в гнезде. Для К.-г. п. сельскохозяйственных культур используют навесные СКНК-4, СКНК-6, СКНК-8, СТХ-4А, СТХ-4Б и др. квадратно-гнездовые сеялки. Для точного высева нужного числа растений в гнезде семена калибруют и учитывают их полевую всхожесть. См. Посев. С. А. Воробьёв.
КВАДРАТНОЕ ПИСЬМО (др.-евр.- ке-таб мерубба), ответвление западносемит-ского письма, восходит к арамейскому (с 3 в. до н. э.), в основном сформировалось к 2-1 вв. до н. э. Письмо арамейских и др.-евр. надписей, лит-ры на др.-евр. языке, совр. языков иврит, идиш и ладино (исп.-евр. язык Средиземноморья). Курсивные разновидности: ашке-нази (Вост. Европа), сефарди (Средиземноморье), раши (раввинское письмо, в Италии, употребляется в религ. текстах). Письмо первоначально чисто консонантное. В 6-8 вв. создаётся неск. систем огласовок с помощью диакритик; основная, ныне принятая,- Тивериадская. См. Еврейское письмо.
Лит.: Дирингер Д., Алфавит, пер. с англ., M., 1963, с. 311 - 319.
КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ, уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где а, b, с -
к.-л. числа, наз. коэффициентами уравнения. К. у. имеет два корня, к-рые находятся по формулам:
[1137-9.jpg]
Выражение D = b2 - 4ас наз. дискриминантом К. у. Если D > О, то корни К. у. действительные различные, если D < О, то корни сопряжённые комплексные, если D = О, то корни действительные равные. Имеют место формулы Виета: x1 + x2 = -b/a, x1x2 = с/а, связывающие корни и коэффициенты К. у. Левую часть К. у. можно представить в виде а(х - x1)(x - x2). Функцию у = ах2 + + bх + с наз. квадратным трёхчленом, её графиком служит парабола с вершиной в точке М(-b/2а; с - b2/4a) и осью симметрии, параллельной оси Oy; направление ветвей параболы совпадает со знаком а. Решение К. у. было известно в геометрич. форме ещё математикам древности.
КВАДРАТУРА (лат. quadratura - придание квадратной формы), 1) число квадратных единиц в площади данной фигуры. 2) Построение квадрата, равновеликого данной фигуре. 3) Вычисление площади или интеграла (см. Интегральное исчисление).
КВАДРАТУРА в астрономии, одна из характерных конфигураций, т. е. взаимных положений, Солнца, планет, Луны на небесной сфере. Подробнее см. Конфигурации в астрономии.
КВАДРАТУРА КРУГА, задача о разыскании квадрата, равновеликого данному кругу. Под К. к. понимают как задачу точного построения квадрата, равновеликого кругу, так и задачу в ы-числения площади круга с тем или иным приближением. Задачу о точной К. к. пытались решить первоначально с помощью циркуля и линейки. Математика древности знала ряд случаев, когда с помощью этих инструментов удавалось преобразовать криволинейную фигуру в равновеликую ей прямолинейную (ем., напр., Гиппократовы. луночки). Попытки решения задачи о К. к., продолжавшиеся в течение тысячелетий, неизменно оканчивались неудачей. С 1775 Парижская АН, а затем и др. академии стали отказываться от рассмотрения работ, посвящённых К. к. Лишь в 19 в. было дано науч. обоснование этого отказа: строго установлена неразрешимость К. к. с помощью циркуля и линейки.
Если радиус круга равен г, то сторона равновеликого этому кругу квадрата равна х = r()1/2 . T. о., задача сводится к следующей: осуществить построение, в результате к-рого данный отрезок (r) был бы умножен на данное число ()1/2. Однако графич. умножение отрезка на число осуществимо циркулем и линейкой, если упомянутое число - корень алгебр, ур-ния с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. T. о., окончательная ясность в вопросе о К. к. могла быть достигнута на пути изучения арифметич. природы числа я. В кон. 18 в. нем. математиком И. Ламбертом и франц. математиком А. Лежандром была установлена иррациональность числа л. В 1882 нем. математик Ф. Линдеман доказал, что число я (а значит и у л) трансцендентно, т. е. не удовлетворяет никакому алгебр, ур-нию с целыми коэффициентами. Теорема Линдемана положила конец попыткам решения задачи о К. к. с помощью циркуля и линейки. Задача о К. к. становится разрешимой, если расширить средства построения. Уже греч. геометрам было известно, что К. к. можно осуществить, используя трансцендентные кривые; первое решение задачи о К. к. было выполнено Диностратом (4 в. до н. э.) при помощи спец. кривой -т. н. квадратрисы (см. Линия). О задаче нахождения приближённого значения числа я см. в ст. Пи.
Лит.: О квадратуре круга (Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр). С приложением истории вопроса, пер. с нем., 3 изд., М.-Л., 1936; С т рой к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., M., 1969.
КВАДРАТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ, формулы, служащие для приближённого вычисления определённых интегралов по значениям подинтегральной функции в конечном числе точек. Наиболее распространённые К. ф. имеют вид-.
[1137-10.jpg]
где
x1, x2, ..., xn - узлы К. ф., A1, A2, ..., An - её коэффициенты и Rn- остаточный член. Напр.,
[1137-11.jpg]
где а < < b (формула трапеций). Иногда К. ф. наз. также формулами механических, или численных, квадратур. См. также Ko-теса формулы, Симпсона формула, Чебышева формула.
Лит.: Крылов В. И., Приближённое вычисление интегралов, 2 изд., M., 1967.
КВАДРИВИУМ (лат. quadrivium. букв.- пересечение четырёх дорог), повышенный курс светского образования в ср.-век. школе, состоявший из 4 предметов: музыки, арифметики, геометрии и астрономии. Вместе с нач. курсом тривиумом К. составлял т. н. "семь свободных искусств".
КВАДРИГА (лат. quadriga), античная (др.-греч., рим.) колесница на 2 колёсах, запряжённая четвёркой лошадей, расположенных в 1 ряд; возница управлял ими стоя. Лёгкие К. применялись для конских состязаний, занимавших большое место в Олимпийских и др. обществ, играх. Описания этих состязаний есть у Гомера, Вергилия и др. античных авторов. Массивными К. пользовались императоры и полководцы-победители для торжеств. процессий. Скульптурные изображения К. с античными божествами или аллегорич. фигурами славы, счастья и т. п. в качестве возниц служили украшением античных строений. Барельефы с изображением К. часто встречаются на античных медалях, камеях и геммах. В России и Зап. Европе 18-19 вв. К. украшались фронтоны монументальных зданий и триумфальные арки.
КВАДРИЛЛИОН (франц. quadrillion), число, изображаемое единицей с 15 нулями, т. е. число 1015. Иногда К. наз. число 102".
КВАДРИРУЕМАЯ ОБЛАСТЬ, область, имеющая определённую площадь, или, что то же,- определённую плоскую меру в смысле Жордана (см. Мера множества). Отличительным свойством К. о. D является возможность заключить ее "между" двумя многоугольниками так, чтобы один из них содержался внутри данной К. о., другой, напротив, содержал её внутри, а разность их площадей могла бы быть произвольно малой. В этом случае существует только одно число, заключённое между площадями всех "охватывающих" и "охватываемых" многоугольников; его и наз. площадью К. о. D. Свойства квадрируемых областей: если К. о. D содержится в К. о. D1, то площадь D не превосходит площади D1; область D. состоящая из двух непересекающихся К. о. D1 и D2, квадрируема, и её площадь равна сумме площадей областей D1 и D2; общая часть двух К. о. D1 и D2 снова является К. о. Для того чтобы область D была квадрируема, необходимо и достаточно, чтобы её граница имела площадь, равную нулю; существуют области, не удовлетворяющие этому условию и, следовательно, неквадрируемые.
КВАДРУПОЛЬ (от лат. quadrum - четырёхугольник, квадрат и греч. polos- полюс), система заряженных частиц, полный электрич. заряд и электрич. диполь-ный момент к-рой равны нулю. К. можно рассматривать как совокупность двух одинаковых диполей с равными по величине и противоположными по направлению дипольными моментами, расположенных на нек-ром расстоянии друг от друга (см. рис.). На больших расстояниях R от К. напряжённость его электрич. поля E убывает обратно пропорционально четвёртой степени R (E ~ 1/R4), а зависимость E от зарядов и их расположения описывается в общем случае набором из пяти независимых величин, к-рые вместе составляют квадрупольный момент системы. Квадрупольный момент определяет также энергию К. во внешнем электрич. поле. В частном случае К., изображённых на рис., квадрупольный момент по абс. величине равен 2eIa, где е - заряд, l - размер диполей, а - расстояние между центрами диполей. К. является мулътиполем 2-го порядка.
Примеры относительного расположения диполей в квадруполе.
Лит.: Ландау Л. Д. и Л и ф-шиц |
