| 13986122 15360 8522 910 1тся только темп-рами нагревателя и холодильника. К. т. сыграла важную роль в установлении второго начала термодинамики. 2) В теории удара - теорема о потере кинетич. энергии при абс. неупругом ударе. Названа по имени Л. H. Карно. Кинетич. энергия, потерянная системой при ударе, равна той кинетич. энергии, к-рую имела бы система, если бы её точки двигались с потерянными скоростями, т. е.
[1129-4.jpg]
кинетич. энергия системы соответственно до и после удара, mi - масса i-й точки системы, Voi и V1i - скорости i-й точки до и после удара, (- Vu) - т. н. потерянная скорость точки. К. т. является прямым следствием применения к явлению неупругого удара законов сохранения импульса и энергии для изолированной механич. системы. В ряде случаев К. т. позволяет определять скорости тел после неупругого удара.
KAPHO ЦИКЛ, обратимый круговой процесс, в к-ром совершается превращение теплоты в работу (или работы в теплоту). К. ц. состоит из последовательно чередующихся двух изотермических и двух адиабатных процессов. Впервые рассмотрен франц. учёным Н.Л.С. Карно (1824) как идеальный рабочий цикл теплового двигателя. Превращение теплоты в работу сопровождается переносом рабочим телом двигателя определённого количества теплоты от более нагретого тела (нагревателя) к менее нагретому (холодильнику).
К. ц. осуществляется след, образом: рабочее тело (напр., пар в цилиндре под поршнем) при темп-ре T1 приводится в соприкосновение с нагревателем, имеющим постоянную темп-ру T1, и изотермически получает от него количество теплоты Q1 (при этом пар расширяется и совершает работу). На рис. 1 этот процесс изображён отрезком изотермы AB. Затем рабочее тело, расширяясь адиабатически (по адиабате ВС), охлаждается до темп-ры T2. При этой темп-ре, сжимаясь изотермически (отрезок CD), рабочее тело отдаёт количество теплоты Q2 холодильнику с темп-рой T2. Завершается К. ц. адиабатным процессом (DA на рис. 1), возвращающим рабочее тело в исходное термодинамич. состояние. При постоянной разности темп-р (T1-T2) между нагревателем и холодильником рабочее тело совершает за один К. ц. работу
[1129-5.jpg]
Рис. 1. Цикл Карно на диаграмме р - V (давление -объём).
Q1 - количество теплоты, получаемой рабочим телом от нагревателя, Q2 - количество теплоты, отдаваемой им холодильнику.
Площадь ABCD численно равна работе цикла Карно.
Эта работа численно равна площади ABCD (рис. 1), ограниченной отрезками изотерм и адиабат, образующих К. ц.
К. ц. обратим, и его можно осуществить в обратной последовательности (в направлении ADCBA). При этом количество теплоты Q2 отбирается у холодильника и вместе с затраченной работой A (превращённой в теплоту) передаётся нагревателю. Тепловой двигатель работает в этом режиме как идеальная холодильная машина.
К. ц. имеет наивысший кпд = A/Q1= (T1 - T2)IT1 среди всех возможных циклов, осуществляемых, в одном и том же температурном интервале (T1-T2). В этом смысле кпд К. ц. служит мерой эффективности др. рабочих циклов.
Исторически К. ц. сыграл важную роль в развитии термодинамики и теплотехники. С его помощью была доказана эквивалентность формулировок P. Клау-зиуса и У. Томсона (Кельвина) второго начала термодинамики, К. ц. был использован для определения абс. термо-динамич. шкалы темп-р (см. Температурные шкалы), К. ц. часто использовался также для вывода различных тер-модинамич. соотношений (напр., Клапейрона - Клаузиуса уравнения).
Рис. 2. Схема работы идеальной тепловой машины, работающей по циклу Карно: 1. От нагре: вателя H поступает теплота Q1. газ под поршнем изотермически расширяется (по линии AB, рис. 1). 2. Газ изолирован от нагревателя и холодильника и адиабатически расширяется (по линии SC). 3. Газ изотермически (при T = T1) сжимается (по линии CD) и отдаёт теплоту Q2 холодильнику X. 4. Газ изолирован и адиабатически сжимается (по линии DA).
Лит.: Ферми Э., Термодинамика, пер. с англ., Хар., 1969; Путилов К. А., Термодинамика, M., 1971.
1131.htm
КАРТОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, отображения всей поверхности земного эллипсоида или к.-л. её части на плоскость, получаемые в основном с целью построения карты.
Масштаб. К. п. строятся в определённом масштабе. Уменьшая мысленно земной эллипсоид в M раз, напр, в 10 000 000 раз, получают его геом. модель - глобус, изображение к-рого уже в натуральную величину на плоскости даёт карту поверхности этого эллипсоида. Величина 1 : M (в примере 1 : 10 000 000) определяет главный, или общий, масштаб карты. T. к. поверхности эллипсоида и шара не могут быть развёрнуты на плоскость без разрывов и складок (они не принадлежат к классу развёртывающихся поверхностей), любой К. п. присущи искажения длин линий, углов и т. п., свойственные всякой карте. Осн. характеристикой К. п. в любой её точке является частный масштаб . Это - величина, обратная отношению бесконечно малого отрезка ds на земном эллипсоиде к его изображению da на плоскости: 1/ =ds/d, причём зависит от положения точки на эллипсоиде и от направления выбранного отрезка. Ясно, что min<=<=max, и равенство здесь возможно лишь в отдельных точках или вдоль нек-рых линий на карте. T. о., главный масштаб карты характеризует её только в общих чертах, в нек-ром осреднением виде. Отношение /М наз. относительным масштабом, или увеличением длины, разность (/M - 1) - искажением длины.
При анализе свойств К. п. можно не принимать во внимание главный масштаб; численное значение его учитывается только при вычислениях координат точек К. п. Поэтому часто, напр, в теории искажений, считают M = 1.
Общие сведения. Теория К. п.- математическая картография - имеет своей целью изучение всех видов искажений отображений поверхности земного эллипсоида на плоскость и разработку методов построения таких проекций, в к-рых искажения имели бы или наименьшие (в к.-л. смысле) значения или заранее заданное распределение.
Исходя из нужд картографии, в теории К. п. рассматривают отображения поверхности земного эллипсоида на плоскость. T. к. земной эллипсоид имеет малое сжатие, и его поверхность незначительно отступает от сферы, а также в связи с тем, что К. п. необходимы для составления карт в средних и мелких масштабах (M > 1 000 000), то часто ограничиваются рассмотрением отображений на плоскость сферы нек-рого радиуса R, отклонениями к-рой от эллипсоида можно пренебречь или к.-л. способом учесть. Поэтому далее имеются в виду отображения на плоскость хОу сферы, отнесённой к геогр.. координатам (широта) и (долгота).
Уравнения любой К. п. имеют вид x = f1(,),y=f2(,) , (1) где f1 и f2 - функции, удовлетворяющие нек-рым общим условиям. Изображения меридианов =const и параллелей = const в данной К. п. образуют картографическую сетку. К. п. может быть определена также двумя уравнениями, в к-рых фигурируют не прямоугольные координаты х,у плоскости, а к.-л. иные. Нек-рые К. п. [напр., перспективные проекции (в частности, ортографиче-ские, рис. 2) перспективно-цилиндрические (рис. 7) и др.] можно определить геом. построениями. К. п. определяют также правилом построения соответствующей ей картографич. сетки или такими её характеристич. свойствами, из к-рых могут быть получены уравнения вида (1), полностью определяющие проекцию.
Краткие исторические сведения. Развитие теории К. п., как и всей картографии, тесно связано с развитием геодезии, астрономии, географии, математики. Науч. основы картографии были заложены в Др. Греции (6-1 вв. до н. э.). Древнейшей К. п. считается гно-моническая проекция, применённая Фа-лесом Милетским к построению карт звёздного неба. После установления в 3 в. до н. э. шарообразности Земли К. п. стали изобретаться и использоваться при составлении геогр. карт (Гиппарх, Птолемей и др.). Значит, подъём картографии в 16 в., вызванный Великими геогр. открытиями, привёл к созданию ряда новых проекций; одна из них, предложенная Г. Меркатором, используется и в настоящее время (см. Меркатора проекция). В 17-18 вв., когда широкая организация топографич. съёмок стала поставлять достоверный материал для составления карт на значит, территории, К. п. разрабатывались как основа для топографич. карт (франц. картограф P. Бонн, Дж. Д. Кассини), а также выполнялись исследования отдельных наиболее важных групп К. п. (И. Ламберт, Л. Эйлер, Ж. Лагранж и др.). Развитие воен. картографии и дальнейшее увеличение объёма топографич. работ в 19 в. потребовали обеспечения матем. основы крупномасштабных карт и введения системы прямоугольных координат на базе, более подходящей К. п. Это привело К. Гаусса к разработке фундаментальной геодезической проекции. Наконец, в сер. 19 в. А. Тиссо (Франция) дал общую теорию искажений К. л. Развитие теории К. п. в России было тесно связано с запросами практики и дало много оригинальных результатов (Л. Эйлер, Ф. И. Шуберт, П. Л. Чебышев, Д. А. Граве и др.). В трудах сов. картографов В. В. Кав-райского, H. А. Урмаева и др. разработаны новые группы К. п., отдельные их варианты (до стадии практич. использования), важные вопросы общей теории К. п., классификации их и др.
Теория искажений. Искажения в бесконечно малой области около к.-л. точки проекции подчиняются нек-рым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, к-рым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это -т. н. главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: max= а и min= b. Если в к.-л. проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их - главные.
Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается осн. формулами теории искажений .
Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат. Полюсы сферы суть особые точки геогр. координации, хотя сфера в этих точках не имеет к.-л. особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих геогр. полюсы, желательно иногда применять не геогр. координаты, а другие, в к-рых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферич. координаты, координатные линии к-рых, т. н. вертикалы (условная долгота на них а = const) и альмукантараты (где полярные расстояния z= const), аналогичны геогр. меридианам и параллелям, но их полюс Zo не совпадает с геогр. полюсом P0 (рис. 1). Переход от геогр. координат , любой точки сферы к её сферич. координатам z, при заданном положении полюса Zo (0, 0) осуществляется по формулам сферич. тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), наз. нормальной, или прямой (0= /2). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в к-рых вместо , фигурируют z,а, то эта проекция наз. поперечной при 0 = О и косой, если О < 0 < /2. Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана нормальная (А), поперечная (Б) и косая (В) ортографические проекции сферы (поверхности шара).
Классификация картографических проекций по характеру искажений.
В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры - проекция Меркатор, стереографическая проекция.
В равновеликих (эквивалентных) К.п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности - величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.
Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопроме-жуточные, в к-рых один из главных масштабов равен единице, и о р т о-дромические, в к-рых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.
При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновели-кости, равнопромежуточности и ортодро-мичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты (рис. 3); б) изо-колы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8В см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферич. линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. ЗА, ЗБ и др.
Классификация нормальных картографических проекции по виду изображений меридианов и параллелей, являющаяся результатом историч. развития теории К. п., объем лет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геом. методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.
Цилиндрические проекции (рис. 3) - проекции, в к-рых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели - прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или к.-л. параллели. В навигации используется проекция Меркатора - равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса - Крюге-р а - равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п.- применяется при составлении топографии, карт и обработке триангуляции.
Конические проекции (рис. 4)-проекции, в к-рых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы - ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конич. проекциях. Используются также как геодезические проекции.
Азимутальные проекции (рис. 5) - проекции, в к-рых параллели - концентрические окружности, меридианы - их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.
Псевдоконические проекции (рис. 6) - проекции, в к-рых параллели изображаются концентрич. окружностями, средний меридиан - прямой линией, остальные меридианы - кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1 : 126 000) карта Европ. части России.
Псевдоцилиндрические проекции (рис. 8) - проекции, в к-рых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан - прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы - кривыми.
Пол |
