| 13986122 15360 8522 910 1рхностей тел, объёмов тел ("нахождение кубатур"), а также задачи определения координат центров тяжести, моментов инерции, пути тела по известной скорости движения, работы, производимой силой, и многие другие задачи естествознания и техники. Напр., длина дуги плоской кривой, заданной уравнением у = f(x) на отрезке [а,b], выражается интегралом
[1021-2-86.jpg]
объём тела, образованного вращением этой дуги вокруг оси Ox,- интегралом
[1021-2-87.jpg]
поверхность этого тела - интегралом
[1021-2-88.jpg]
Фактическое вычисление определённых интегралов осуществляется различными способами. В отдельных случаях определённый интеграл можно найти, непосредственно вычисляя предел соответствующей интегральной суммы. Однако большей частью такой переход к пределу затруднителен. Нек-рые определённые интегралы удаётся вычислять с помощью предварительного отыскания неопределённых интегралов (см. ниже). Как правило же, приходится прибегать к приближённому вычислению определённых интегралов, применяя различные квадратурные формулы (напр., трапеций формулу, Симпсона формулу). Такое приближённое вычисление может быть осуществлено на ЭВМ с абсолютной погрешностью, не превышающей .любого заданного малого положительного числа. В случаях, не требующих большой точности, для приближённого вычисления определённых интегралов применяют графич. методы (см. Графические вычисления).
Понятие определённого интеграла распространяется на случай неограниченного промежутка интегрирования, а также на нек-рые классы неограниченных функций. Такие обобщения наз. несобственными интегралами.
Выражения вида
[1021-2-89.jpg]
где функция f(x,а) непрерывна по х, наз. интегралами, зависящими от параметра. Они служат основным средством изучения многих специальных функций (см., напр., Гамма-функция).
Неопределённый интеграл. Нахождение неопределённых интегралов, или интегрирование, есть операция, обратная дифференцированию. При дифференцировании данной функции ищется её производная. При интегрировании, наоборот, ищется первообразная (или примитивная) функция - такая функция, производная к-рой равна данной функции. T. о., функция F(x) является первообразной для данной функции f(x), если F'(x)= f(x) или, что то же
самое, dF(x)= f(x) dx. Данная функция f(x) может иметь различные первообразные, но все они отличаются друг от друга только постоянными слагаемыми. Поэтому все первообразные для f(x) содержатся в выражении F(X) + С, к-рое называют неопределённым интегралом от функции f(x) и записывают
[1021-2-90.jpg]
Определённый интеграл как функция верхнего предела интегрирования
[1021-2-91.jpg]
("интеграл с переменным верхним пределом"), есть одна из первообразных под-интегральной функции. Это позволяет установить основную формулу И. и. (формулу Ньютона - Лейбница):
[1021-2-92.jpg]
выражающую численное значение определённого интеграла в виде разности значений к.-л. первообразной подинтегральной функции при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Взаимно обратный характер операций интегрирования и дифференцирования выражается равенствами
Отсюда [1021-2-93.jpg]следует возможность получения из формул и правил дифференцирования соответствующих формул и правил интегрирования (см. табл., где С, т, a, k- постоянные и [1021-2-94.jpg], а>0).
Трудность И. и. по сравнению с дифференциальным исчислением заключается в том, что интегралы от элементарных функций не всегда выражаются через элементарные, могут не выражаться, как говорят, "в конечном виде". И. и. располагает лишь отдельными приёмами интегрирования в конечном виде, область применения каждого из к-рых ограничена (способы интегрирования излагаются в учебниках матем. анализа: обширные таблицы интегралов приводятся во многих справочниках).
К классу функций, интегралы от к-рых всегда выражаются в элементарных функциях, принадлежит множество всех рациональных функций
[1021-2-95.jpg]
где P(x) и Q(X) - многочлены. Многие функции, не являющиеся рациональными, также интегрируются в конечном виде, напр, функции, рационально зависящие
Таблица основных интегралов и правил интегрирования
[1021-2-96.jpg]
[1021-2-97.jpg]
от[1021-2-98.jpg] их или же от х и рациональных степеней дроби[1021-2-99.jpg]. В конечном виде интегрируются и многие трансцендентные функции, напр, рациональные функции синуса и косинуса. Функции, к-рые изображаются неопределёнными интегралами, не берущимися в конечном виде, представляют собой новые трансцендентные функции. Многие из них хорошо изучены (см., напр., Интегральный логарифм, Интегральный синус и интегральный косинус, Интегральная показательная функция).
Понятие интеграла распространяется на функции многих действительных переменных (см. Кратный интеграл, Криволинейный интеграл, Поверхностный интеграл), а также на функции комплексного переменного (см. Аналитические функции)к вектор-функции (см. Векторное исчисление).
О расширении и обобщении понятия интеграла см. ст. Интеграл, Историческая справка. Возникновение задач И. и. связано с нахождением площадей и объёмов. Ряд задач такого рода был решён математиками Др. Греции. Античная математика предвосхитила идеи И. и. в значительно большей степени, чем дифференциального исчисления. Большую роль при решении таких задач играл исчерпывающий метод, созданный Евдоксом Книдским и широко применявшийся Архимедом. Однако Архимед не выделил общего содержания интеграционных приёмов и понятия об интеграле, а тем более не создал алгоритма И. и. Учёные Cp. и Бл. Востока в 9-15 вв. изучали и переводили труды Архимеда на общедоступный в их среде арабский язык, но существенно новых результатов в И. и. они не получили. Деятельность европейских учёных в это время была ещё более скромной. Лишь в 16 и 17 вв. развитие естественных наук поставило перед математикой Европы ряд новых задач, в частности задачи на нахождения квадратур, кубатур и определение центров тяжести. Труды Архимеда, впервые изданные в 1544 (на лат. и греч. яз.), стали привлекать широкое внимание, и их изучение явилось одним из важнейших отправных пунктов дальнейшего развития И. и. Античный "неделимых" метод был возрождён И. Кеплером. В более общей форме идеи этого метода были развиты Б. Кавальери, Э. Торричелли, Дж. Вал-лисом, Б. Паскалем. Методом "неделимых" был решён ряд геом. и механич. задач. К этому же времени относятся опубликованные позднее работы П. Ферма по квадрированию парабол я-й степени, а затем - работы X. Гюйгенса по спрямлению кривых.
В итоге этих исследований выявилась общность приёмов интегрирования при решении внешне несходных задач геометрии и механики, приводившихся к квадратурам как к геом. эквиваленту определённого интеграла. Заключительным звеном в цепи открытий этого периода было установление взаимно обратной связи между задачами на проведение касательной и на квадратуры, т. е. между дифференцированием и интегрированием. Основные понятия и алгоритм И. и. были созданы независимо друг от друга И. Ньютоном и Г. Лейбницем. Последнему принадлежит термин "интегральное исчисление" и обозначение интеграла[1021-2-100.jpg]
При этом в работах Ньютона осн. роль играло понятие неопределённого интеграла (флюенты, см. Флюксий исчисление), тогда как Лейбниц исходил из понятия определённого интеграла. Дальнейшее развитие И. и. в 18 в. связано с именами И. Бернулли и особенно Л. Эйлера. В нач. 19 в. И. и. вместе с дифференциальным исчислением было перестроено О. Коши на основе теории пределов. В развитии И. и. в 19 в. приняли участие русские математики M. В. Остроградский, В. Я. Буняковский, П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. развитие теории множеств и теории функций действительного переменного привело к углублению и обобщению осн. понятий И. и. (Б. Pu-ман, А. Лебег и др.).
Лит.: История. Ван дер Варден Б. Л., Пробуждающаяся наука, пер. с голл., M., 1959; Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., M., 1966; Строй к Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем.,2 изд., M., 1969; Cantor M., Уог-lesungen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.-В.. 1901-24.
Работы основоположников и классиков И. и. НьютонИ., Математические работы, пер. с латин., М.-Л., 1937; Лейбниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Эйлер Л., Интегральное исчисление, пер. с латин., тт. 1 - 3, M., 1956-58; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные пособия по И. и. Хинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., 1957; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, M., 1967; Фихтенгольц Г. M., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 2, M., 1969; Ильин В., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, M., 1971; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, M., 1967; Двайт Г. Б., Таблицы интегралов и другие математические формулы, пер. с англ., M., 1964.
Под редакцией академика A. H. Колмогорова.
ИНТЕГРАЛЬНОЕ СТЕРЕОКИНО, сте реоскопич. кино, в к-ром объёмно-прост-ранств. образ создаётся в результате одновременной проекции на растровый экран не двух, как в однопарном стереоскопич. кино, а многих плоских взаимосвязанных между собой изображений (кадров), хотя зритель видит из них в каждое мгновение только 2 изображения: одно - левым, а другое - правым глазом. Метод И. с. впервые в мире был предложен в 1962-63 сов. изобретателем безочкового стереоскопич. кино С. П. Ивановым и совершенствовался им в последующие годы. В 1965 был продемонстрирован эксперимент, кинофильм (реж. H. В. Экк), снятый интегральным методом, а в 1972 в Москве (кинотеатр "Октябрь") впервые демонстрировался короткометражный видовой кинофильм "По Южному берегу Крыма", снятый также интегральным методом (реж. и оператор H. И. Большаков).
При наиболее простом способе съёмки И. с. на 8-, 16- или 35-мм киноплёнку применяется обычный (однообъективный) съёмочный аппарат с любыми объективами. В нём изменяется только рамка, ограничивающая поле зрения визира в соответствии с выбранным стереоскопич. экраном. Особенность процесса съёмки заключается в том, что съёмочный аппарат устанавливается не обычно, а поворачивается вокруг оптич. оси объектива на 90° для обеспечения горизонтального продвижения киноплёнки, необходимого при проекции, и перемещается в горизонтальной плоскости вокруг центрального объекта композиции (рис. 1). Скорость перемещения камеры
[1021-2-101.jpg]
Рис. 1. Схема съёмки кинофильма интегральным методом: А - сверху вниз (в вертикальной плоскости); Б - в сторону (в горизонтальной плоскости); 1, 2,3,4 - центральные объекты композиции. Стрелками показаны пути перемещения съёмочного аппарата при съёмке в сторону (I) и сверху вниз (II); обоюдоострыми стрелками показан быстрый переход с одной визирной точки (центрального объекта) на другую.
может быть рассчитана по формуле: v = L *K/10 • f'с, где v - скорость движения камеры (мм/сек), L - расстояние до центрального объекта композиции (мм), К - частота смены кадров (кадр/сек), [1021-2-102.jpg]- сопряжённое фокусное расстояние (мм). По этой формуле могут быть составлены таблицы для наиболее характерных или часто встречающихся случаев съёмки. При съёмке допустимы 2-3-кратные отклонения от параметров, указанных в формуле. Простейший контроль правильности такой съёмки заключается в том, что видимые в визире перемещения самых ближних и самых удалённых объектов (относительно неподвижного центрального объекта) от одной границы кадра к другой должны происходить за время не более 10 сек и не менее 2 сек.
При проекции на растровый экран киноплёнка продвигается горизонтально с обычной частотой смены кадров (24 кадр/сек) мимо неск. взаимосвязанных объективов. Кол во объективов определяется оптич. параметрами растрового экрана. Так, при проекции на растровый экран с перспективным линзовым растром (рис. 2) достаточно от 5 до 10 объективов. В этом случае на любое кресло зрительного зала придётся от 5 до 10 элементарных взаимосвязанных фокальных зон, составляющих в целом интегральную зону стереоскопич. видения (о фокальных зонах см. в ст. Стереоскопическое кино). Посредством экрана образуется до 50 интегральных зон или 400-500 элементарных фокальных зон. Такое количество зон обеспечивает нормальные условия просмотра кинофильма зрителем: при отклонении зрителя вправо или влево стереоскопический эффект не пропадает, что неизбежно при однопарной безочковой стереоскопической проекции, а напротив, подчёркивается за счёт естественного перемещения ближних предметов относительно дальних, т. е. в полном соответствии с тем, что наблюдается в жизни.
Однако рассмотренному способу получения И. с. свойствен недостаток: наиболее быстро движущиеся объекты оказываются заснятыми с большим временным параллаксом, проявляющимся при любой проекции в виде дробления изображения движущихся объектов; кроме того, при стереоскопич. проекции наблюдается заметная деформация формы объектов и их пространств, положения. Во избежание этого явления предложено 2 более сложных способа получения И. с.: 1) увеличение при съёмке и проецировании частоты смены кадров в 2-4 раза; 2) съёмка и проецирование одновременно серии из 8-9 кадров при прежней частоте смены кадрор. Для реализации последнего способа может быть использован киносъёмочный аппарат, в к-ром применена, напр., перфорированная аэрофотоплёнка шириной 190 мм с поперечным (к вертикальному перемещению плёнки) размещением на ней серии из 9 отд. взаимосвязанных кадров размером 19 X X 19 мм каждый.
[1021-2-103.jpg]
Рис. 2. Схема образования интегральных фокальных зон растровым экраном с перспективным растром.
Лит.: Иванов Б. Т., Растровая стереоскопия в кино, M., 1945; Валюс H. А., Растровая оптика, M., 1949; Иванов С.П., Иванов M. С., Быховский В. M., Интегральная сТереодиапроекция на ЭКСПО-70, "Техника кино и телевидения", 1970, МЬ 10, с. 33-38. С. П. Иванов.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисл. задачи физики и матем. физики приводят к И. у. различных типов. Пусть, напр., требуется с помощью нек-рого оптич. прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок [1021-2-104.jpg]оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(х). Изображение В представляет собой нек-рый отрезок другой оси x1; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком[1021-2-105.jpg] Если дифференциально малый участок [1021-2-106.jpg]объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x1,x)u(x)dx, где функция K(x1,x)определяе |
