| 13986122 15360 8522 910 1ля нек-рых действий и для степеней неизвестной величины. Проходят многие десятилетия и даже века, прежде чем вырабатывается тот или иной удобный символ. Так, в кон. 15 в. Н. Шюке и Л. Пачоли употребляли знаки сложения и вычитания р и m (от лат. plus и minus), нем. математики ввели современные + (вероятно, сокращение лат. et) и -. Ещё в 17 в. можно насчитать около десятка 3. м. для действия умножения.
[928-1.jpg]
[928-2.jpg]
у нем. математика М. Штифеля (1544):
[928-3.jpg]
у итал. математика Р. Бомбелли (1572):
[928-4.jpg]
у франц. математика Ф. Виета (1591):
[928-5.jpg]
у англ. математика Т. Гарриота (1631):
[928-6.jpg]
В 16 и нач. 17 вв. входят в употребление знаки равенства и скобки: квадратные (Р. Бомбелли, 1550), круглые (Н. Тарталья, 1556), фигурные (Ф. Виет, 1593). В 16 в. современный вид принимает запись дробей.
Значит. шагом вперёд в развитии математич. символики явилось введение Вие-том (1591) 3. м. для произвольных постоянных величин в виде прописных согласных букв лат. алфавита В, D, что дало ему возможность впервые записывать алгебраич. уравнения с произвольными коэффициентами и оперировать ими. Неизвестные Виет изображал гласными прописными буквами А, Е,... Напр., запись Виета[928-7.jpg][ cubus - куб, planus - плоский, т. е. В - двумерная величина; solid us - телесный (трёхмерный), размерность отмечалась для того, чтобы все члены были однородны] в наших символах выглядит так:[928-8.jpg]
Виет явился творцом алгебраич. формул. Р. Декарт (1637) придал знакам алгебры совр. вид, обозначая неизвестные последними буквами лат. алфавита х, у, г, а произвольные данные величины - начальными буквами а, Ь, с. Ему же принадлежит нынешняя запись степени. Обозначения Декарта обладали большим преимуществом по сравнению со всеми предыдущими. Поэтому они скоро получили всеобщее признание.
Дальнейшее развитие 3. м. было тесно связано с созданием анализа бесконечно малых, для разработки символики к-рого основа была уже в большой мере подготовлена в алгебре.
Даты возникновения некоторых математических знаков
Знак
Значение
Кто ввёл
Когда
введён
[928-9.jpg]
[928-10.jpg]
бесконечность
Дж. Валлис
1655
[928-11.jpg]
основание натуральных логарифмов
Л. Эйлер
1736
[928-12.jpg]
отношение длины окружности к диаметру
У. Джонс Л. Эйлер
1706 1736
[928-13.jpg]
корень квадратный из - 1
Л. Эйлер
1777 (в печати 1794)
[928-14.jpg]
единичные векторы, орты
У. Гамильтон
1853
[928-15.jpg]
угол параллельности
Н. И. Лобачевский
1835
[928-16.jpg]
[928-17.jpg]
неизвестные или переменные величины
Р. Декарт
1637
[928-18.jpg]
вектор
О. Коши
1853
[928-19.jpg]
[928-20.jpg]
[928-21.jpg]
немецкие математики
конец 15 в.
[928-22.jpg]
умножение умножение
У. Оутред Г. Лейбниц
1631 1698
[928-23.jpg]
деление
Г. Лейбниц
1684
[928-24.jpg]
степени
Р. Декарт И. Ньютон
1637 1676
[928-25.jpg]
корни
К. Рудольф А. Жирар
1525 1629
[928-26.jpg]
логарифм
И. Кеплер Б. Кавальери
1624 1632
[928-27.jpg]
[928-28.jpg]
Л. Эйлер
1748
[928-29.jpg]
тангенс
Л. Эйлер
1753
[928-30.jpg]
арксинус
Ж. Лагранж
1772
[928-31.jpg]
[928-32.jpg]
В. Риккати
1757
[928-33.jpg]
дифференциал
Г. Лейбниц
1675 (в печати 1684)
[928-34.jpg]
интеграл
Г. Лейбниц
1675 (в печати 1686)
[928-35.jpg]
производная
Г. Лейбниц
1675
[928-36.jpg]
производная разность
Ж. Лагранж Л. Эйлер
1770, 1779 1755
[928-37.jpg]
частная производная
Л. Лежандр
1786
[928-38.jpg]
определённый интеграл
Ж. Фурье
1819-22
[928-39.jpg]
сумма
Л. Эйлер
1755
[928-40.jpg]
произведение
К. Гаусс
1812
[928-41.jpg]
факториал
К. Крамп
1808
[928-42.jpg]
модуль
К. Вейерштрасс
1841
[928-43.jpg]
предел
С. Л юн лье
У. Гамильтон многие математики
1786
1853 начало 20 в.
[928-44.jpg]
дзета-функция
Б. Риман
1857
[928-45.jpg]
гамма-функция
А. Лежандр
1808
[928-46.jpg]
бета-функция
Ж. Бине
1839
[928-47.jpg]
дельта (оператор Лапласа)
Р. Мёрфн
1833
[928-48.jpg]
набла (оператор Гамильтона)
У. Гамильтон
1853
[928-49.jpg]
[928-50.jpg]
функция
И. Бернулли Л. Эйлер
1718 1734
[928-51.jpg]
[928-52.jpg]
равенство
Р. Рекорд
1557
[928-53.jpg]
[928-54.jpg]
Т. Гарриот
1631
[928-55.jpg]
сравнимость
К. Гаусс
1801
[928-56.jpg]
параллельность
У. Оутред
1677
[928-57.jpg]
перпендикулярность
П. Эригон
1634
И. Ньютон в своём методе флюксий и флюент (1666 и след. гг.) ввёл знаки для последовательных флюксий (производных) величины х в виде [928-58.jpg] и для бесконечно малого приращения о. Несколько ранее Дж. Валлис (1655) предложил знак бесконечности[928-59.jpg]
Создателем совр. символики дифференциального и интегрального исчислений является Г. Лейбниц. Ему, в частности, принадлежат употребляемые ныне 3. м. дифференциалови интеграла[928-60.jpg][928-61.jpg]
Огромная заслуга в создании символики современной математики принадлежит Л. Эйлеру. Он ввёл (1734) в общее употребление первый знак переменной операции, именно знак функции f(x) (от лат. functio). После работ Эйлера знаки для многих индивидуальных функций, например тригонометрических, приобрели стандартный характер. Эйлеру же принадлежат обозначения постоянных е (основание натуральных логарифмов, 1736), [928-62.jpg] [вероятно, от греческого [928-63.jpg] (periphereia) - окружность, периферия, 1736], мнимой единицы[928-64.jpg] (от франц. imaginaire - мнимый, 1777, опубликовано в 1794).
В 19 в. роль символики возрастает. В это время появляются знаки абсолютной величины[928-65.jpg](К. Вейерштрасс, 1841), вектора[928-66.jpg] (О. Коши 1853), определителя (А. Кэли, 1841) и др. Многие теории, [928-67.jpg]возникшие в 19 в., напр. тензорное исчисление, не могли быть развиты без подходящей символики.
Наряду с указанным процессом стандартизации 3. м. в совр. лит-ре весьма часто можно встретить 3. м., используемые отд. авторами только в пределах данного исследования.
С точки зрения математич. логики, среди 3. м. можно наметить следующие осн. группы: А) знаки объектов, Б) знаки операций, В) знаки отношений. Напр., знаки 1, 2, 3, 4 изображают числа, т. е. объекты, изучаемые арифметикой. Знак операции сложения + сам по себе не изображает никакого объекта; он получает предметное содержание, когда указано, какие числа складываются: запись 1+3 изображает число 4. Знак > (больше) есть знак отношения между числами. Знак отношения получает вполне определенное содержание, когда указано, между какими объектами отношение рассматривается. К перечисленным трём осн. группам 3. м. примыкает четвёртая: Г) вспомогательные знаки, устанавливающие порядок сочетания осн. знаков. Достаточное представление о таких знаках дают скобки, указывающие порядок производства действий.
Знаки каждой из трёх групп А), Б) и В) бывают двух родов: 1) индивидуальные знаки вполне определённых объектов, операций и отношений, 2) общие знаки "переменных", или "неизвестных", объектов, операций и отношений.
Примеры знаков первого рода могут служить (см. также таблицу на стр. 549):
А1) Обозначения натуральных чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; трансцендентных чисел е и [928-68.jpg]; мнимой единицы i.
Б1) Знаки арифметич. действий + , -, •, [928-69.jpg], : ; извлечения корня[928-70.jpg], дифференцирования [928-71.jpg] ; знаки суммы (объединения) [928-72.jpg] и произведения (пересечения) [928-73.jpg] множеств; сюда же относятся знаки индивидуальных функций sin, tg, log и т. п.
В1) Знаки равенства и неравенства [928-74.jpg],[928-75.jpg] знаки параллельности[928-76.jpg] и перпендикулярности [928-77.jpg], знаки принадлежности [928-78.jpg] элемента нек-рому множеству и включения [928-79.jpg] одного множества в другое и т. п.
Знаки второго рода изображают произвольные объекты, операции и отношения определённого класса или объекты, операции и отношения, подчинённые к.-л. заранее оговорённым условиям. Напр., при записи тождества (a + b) (a - b) = = а2- b2буквы а и b обозначают произвольные числа; при изучении функциональной зависимости у = х2 буквы х и у - произвольные числа, связанные заданным отношением; при решении уравнения[928-80.jpg]
х обозначает любое число, удовлетворяющее данному уравнению (в результате решения этого уравнения мы узнаём, что этому условию соответствуют лишь два возможных значения +1 и - 1).
С логич. точки зрения, законно такого рода общие знаки называть знаками переменных, как это принято в математич. логике, не пугаясь того обстоятельства, что "область изменения" переменного может оказаться состоящей из одного единств. объекта или даже "пустой" (напр., в случае уравнений, не имеющих решения). Дальнейшими примерами такого рода знаков могут служить:
А2) Обозначения точек, прямых, плоскостей и более сложных геометрич. фигур буквами в геометрии.
Б2) Обозначения f, F, [928-81.jpg] для функций и обозначения операторного исчисления, когда одной буквой L изображают, напр., произвольный оператор вида:
[928-82.jpg]
Обозначения для "переменных отношений" менее распространены, они находят применение лишь в математич. логике (см. Алгебра логики) и в сравнительно абстрактных, по преимуществу аксиоматических, математич. исследованиях.
Лит.: Cajori F., A history of mathematical notations, v. 1 - 2, Chi., 1928 - 29.
ЗНАКИ ОТЛИЧИЯ НАГРУДНЫЕ, в СССР одна из форм награждения граждан, способствующих своей деятельностью укреплению хоз. и оборонной мощи гос-ва. Учреждаются Президиумом Верх. Совета СССР. В Положении о соответствующем 3. о. н. указываются показатели, за достижение к-рых награждаются этим знаком. Награждение производится Президиумом Верх. Совета СССР по представлению Сов. Мин. СССР или, в соответствии с Положением о 3. о. н., приказом соответств. министерства или ведомства.
Установлены почётные знаки лауреата Ленинской премии и Гос. премии СССР, вручаемые лицам, получившим соответствующие премии (см. Государственные премии СССР, Ленинские премии).
Для рабочих, служащих и колхозников, к-рым присвоено звание ударника комму-нистич. труда, введён единый 3. о. н.
"Ударник коммунистического труда" (пост. Президиума ВЦСПС от 23 сент. 1966, "Справочник профсоюзного работника", М., 1969).
Ряд 3. о. н. учреждён в союзных республиках. Так, напр., в РСФСР: "Почётный шахтёр", "Отличный дружинник", а также знаки, вручаемые лицам, к-рым присвоены звания "Заслуженный изобретатель республики" и "Заслуженный рационализатор республики" (см. в ст. Звания почётные). 3. о. н. следует отличать от Значков нагрудных.
ЗНАКИ ПОГРАНИЧНЫЕ, см. в ст. Границы государственные, Демаркация границ.
ЗНАКИ ПРЕПИНАНИЯ, элементы письменности, служащие для разграничения языковых единиц (смысловых отрезков текста, предложений, словосочетаний, слов, частей слова), для указания на синтаксич. и логич. отношения между словами, на коммуникативный тип предложения, его эмоциональную окраску, а также для внешней информации о тексте (указание на цитаты, незаконченность высказывания, графич. сокращения и пр.). В рус. письме и др. совр. письменностях лат. и кириллич. графики различаются 3. п.: 1) на границах крупных смысловых отрезков текста (абзац, красная строка); 2) на границах предложений (.?!...), указывающие на их коммуникативный тип, эмоциональную окраску, степень законченности; 3) указывающие внутри предложения на отношение его частей (, ; : -), в т. ч. двойные знаки, выделяющие словосочетания с обеих сторон: скобки, двойные запятые, двойные тире; 4) внутри слова, делящие слова на смысловые части (дефис) или слоги (дефис во вьетнамской латинице); 5) знаки, указывающие на цитирование и эмоциональное отношение к словам и словосочетаниям (напр., кавычки); 6) знаки сокращений (точка, дефис, косая черта: напр., "тов.", "к-рый", "п/о"). К 3. п. функционально принадлежит и пробел - знак границы слов. Система 3. п. совр. письменностей: лат., кириллич., греч., араб., евр., индийской - едина. Различия между языками касаются частностей: в исп. латинице вопросит. и восклицат. знаки охватывают предложение (или его часть) с обеих сторон (Donde vas?- "Куда идёшь?", Muy bien-"Очень хорошо!"), в греч. письме ";" служит вопросит. знаком, а точка вверху строки соответствует двоеточию и точке с запятой. Система 3. п. европ. языков восходит к александрийским грамматикам 2-1 вв. до н. э. (Аристофан Византийский, Аристарх, Дионисий Фракийский) и получила совр. вид в кон. 15 в. (система Альда Мануция). В др. системах письма древности и современности 3. п. иные. Наиболее распространены знаки словораздела (пробел во многих системах и : в эфиопском письме) и знаки границ предложения (вертикальная линия в инд. письме для санскр. и в тибетском, :: в эфиопском и т. д.). В 20 в. европ. система 3. п. проникает в др. системы письма. Так, она полностью или с модификациями заимствована япон., кит. и корейским письмом и частично (скобки, многоточие, а в нек-рых системах - вопросит. и восклицат. знаки, кавычки) проникла в тибет., эфиопское, бирм., тайское, лаосское, кхмерское письмо.
Лит.: Добиаш-Рождественская О. А., История письма в средние века, 2 изд., Л., 1936; Иванова В. Ф.,
История и принципы русской пунктуации, Л., 1962; Истрин В. А., Возникновение и развитие письма, М., 1965.
Л. Л. Леонтьев, А. Б. Долгополъск |
