| 13986122 15360 8522 910 1ух переменных означает существование у её графика касательной плоскости, а дифференциал представляет собой приращение аппликаты касательной плоскости, когда независимые переменные получают приращения dx и dy. Для функции двух переменных понятие дифференциала является значительно более важным и естественным, чем понятие частных производных. В отличие от функций одного переменного, для функций двух переменных существование обеих частных производных первого порядка ещё не гарантирует дифференцируемости функции. Однако, если частные производные кроме того ещё непрерывны, то функция дифференцируема.
Аналогично определяются частные производные высших порядков. Частные производные d2f/dx2 и d2f/dy2, в которых дифференцирование ведётся по одному переменному, называют чисты-
ми, а частные производные d2f/dxdy и d2f/dydx - смешанными. Если смешанные частные производные непрерывны, то они между собой равны. Все эти определения и обозначения переносятся на случай большего числа переменных.
Историческая справка. Отдельные задачи об определении касательных к кривым и о нахождении максимальных и минимальных значений переменных величин были решены ещё математиками Древней Греции. Напр., были найдены способы построения касательных к коническим сечениям и нек-рым другим кривым. Однако разработанные античными математиками методы были применимы лишь в весьма частных случаях и далеки от идей Д. и.
Эпохой создания Д. и. как самостоят, раздела математики следует считать то время, когда было понято, что указанные специальные задачи вместе с рядом других (в особенности с задачей определения мгновенной скорости) решаются при помощи одного и того же математич. аппарата - при помощи производных и дифференциалов. Это понимание было достигнуто И. Ньютоном и Г. Лейбницем.
Ок. 1666 И. Ньютон разработал метод флюксий (см. Флюксий исчисление). Осн. задачи Ньютон формулировал в терминах механики: 1) определение скорости движения по известной зависимости пути от времени; 2) определение пройденного за данное время пути по известной скорости. Непрерывную переменную Ньютон называл флюентой (текущей), её скорость -флюкcиеq. Т. о., у Ньютона главными понятиями были производная (флюксия) и неопределённый интеграл как первообразная (флюента). Он стремился обосновать метод флюксий с помощью теории пределов, хотя последняя была им лишь намечена.
В сер. 70-х гг. 17 в. Г. Лейбниц разработал очень удобный алгоритм Д. и. Осн. понятиями у Лейбница явились дифференциал как бесконечно малое приращение переменного и определённый интеграл как сумма бесконечно большого числа дифференциалов. Лейбницу принадлежат обозначения дифференциала dx и интеграла ИНТЕГРАЛ (ydx), ряд правил дифференцирования, удобная и гибкая символика и, наконец, сам термин "дифференциальное исчисление". Дальнейшее развитие Д. и. шло сначала по пути, намеченному Лейбницем; большую роль на этом этапе сыграли работы братьев Я. и И. Бернулли, Б. Тейлора и др.
Следующим этапом в развитии Д. и. были работы Л. Эйлера и Ж. Лагранжа (18 в.). Эйлер впервые стал излагать его как аналитич. дисциплину, независимо от геометрии и механики. Он вновь выдвинул в качестве основного понятия Д. и. производную. Лагранж пытался строить Д. и. алгебраически, пользуясь разложением функций в степенные ряды; ему, в частности, принадлежит введение термина -"производная" и обозначения у' или f'(x). В нач. 19 в. была удовлетворительно решена задача обоснования Д. и. на основе теории пределов. Это было выполнено гл. обр. благодаря работам О. Коши, Б. Больцано и К. Гаусса. Более глубокий анализ исходных понятий Д. и. был связан с развитием теории множеств и теории функций действительного переменного в кон. 19 -нач. 20 вв.
Лит.: История-Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины 19 столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; Строик Д. Я., Краткий очерк истории математики, пер. с нем., 2 изд., М., 1969; Cantor М., Vorlesungen uber Geschichte der Mathematik, 2 Aufl., Bd 3-4, Lpz.- В., 1901-24.
Работы основоположников и классиков Д. и. Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.- Л., 1937; Леибниц Г., Избранные отрывки из математических сочинений, пер. с латин., "Успехи математических наук", 1948, т. 3, в. 1; Л'Опиталь Г. Ф. де, Анализ бесконечно малых, пер. с франц., М.-Л-, 1935; Эйлер Л., Введение в анализ бесконечных, пер. с латин., 2 изд., т. 1, М., 1961; его же, Дифференциальное исчисление, пер. с латин., М.- Л., 1949; Коши О. Л., Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении, пер. с франц., СПБ, 1831; его же, Алгебраический анализ, пер. с франц., Лейпциг, 1864.
Учебники и учебные пособия по Д. и. Xинчин А. Я., Краткий курс математического анализа, 3 изд., М., 1957; его ж е, Восемь лекций по математическому анализу, 3 изд., М.- Л., 1948; Смирнов В. И., Курс высшей математики, 22 изд., т. 1, М., 1967; Фихтенгольц Г. М., Курс дифференциального и интегрального исчисления, 7 изд., т. 1, М., 1969; Ла Валле-Пуссен Ш. Ж. де, Курс анализа бесконечно малых, пер. с франц., т. 1, Л. -М., 1933; Курант Р., Курс дифференциального и интегрального исчисления, пер. с нем. и англ., 4 изд., т. 1, М., 1967; Банах С., Дифференциальное и интегральное исчисление, пер. с польск., 2 изд., М., 1966; Рудин У., Основы математического анализа, пер. с англ., М., 1966.
Под редакцией С. Б. Стечкина.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, связывающие аргумент, искомую функцию, её производные и приращения (раз:п-сти). Напр., у' = kДy, где у = у(х), Дy = y(x + h) - у(х). Подстановка последнего выражения в исходное уравнение показывает, что Д.-р.у. - это частный случай дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, поэтому Д.-р. у. изучаются в рамках этого более широкого класса уравнений.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ, раздел матем. теории управления, в к-ром изучается управление объектом в конфликтных ситуациях (см. Игр теория). В Д. и. возможности игроков описываются дифференциальными уравнениями, содержащими управляющие векторы, к-рыми распоряжаются игроки. Для выбора своего управления каждый игрок может использовать лишь текущую информацию о поведении игроков. Различают Д. и. двух игроков и многих игроков. Наиболее исследованными являются Д. и. преследования, в к-рых количество игроков .равно 2, одного называют догоняющим, другого убегающим. Цель догоняющего - приведение вектора z(t) на заданное множество М за возможно короткое время; цель убегающего - по возможности оттянуть момент прихода вектора z(t) на М. Основополагающие результаты в Д. и. получены в 60-е гг. 20 в. в СССР Л. С. Понтрягиным, Н. Н. Красовским, Е. Ф. Мищенко, Б. Н. Пшеничным и др., в США -Р. Айзексом, Л. Берковицем, У. Флемингом и др. М. С. Никольский.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПOШЛИНЫ, см. Пошлины дифференциальные.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИЗНАКИ, определённые свойства языковых единиц, противопоставляющие эти единицы другим единицам того же уровня, к-рые либо не обладают данными свойствами, либо обладают противопоставленными им свойствами. Напр., рус. звук "ль" противопоставлен звуку "л" по па-латализованности (наличие - отсутствие свойства), словоформа чстол" - словоформе "столы" по числу (ед. число и мн. число), значение слова "человек" - значению слова "камень" по одушевлённости (одушевлённое - неодушевлённое). Понятие Д. п. более всего разработано в фонологии, где оно является основополагающим. Различаются релевантные и нерелевантные (ирреле-вантные) признаки. Данный Д. п. является релевантным для данной фоно-логич. системы, если по этому Д. п. противопоставляются к.-л. фонемы данного языка (так, признак "звонкости -глухости" согласных релевантен для рус., нем., франц., англ. и нек-рых других языков). Однако и релевантный Д. п. может оказаться нерелевантным при нек-рых условиях, напр. если он обусловлен позицией звука (глухость согласных на конце слов в рус. языках нерелевантна) или особенностями фонологич. системы.
Амер. учёные Р. Якобсон, Г. Фант, М. Халле предложили список из 12 универсальных двоичных акустич. Д. п., достаточный, по их мнению, для исчерпывающего описания фонологич. системы любого языка. Понятие Д. п. используется и на других уровнях языковой структуры и является одним из осн. понятий совр. лингвистики.
Лит.: ТрубецкойН.С., Основы фонологии, пер. с нем., М., 1960; Блумфилд Л., Язык, пер. с англ., М., 1968; Jakоbsоn R., Fant С. G. М., Halle M., Preliminaries to speech analysis, Camb., 19Г5 (рус. пер. 2 части - в кн.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962); Jakobson R., Halle M., Fundamentals of language, VGravenhage, 1956. В. В. Раскин.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в кон. 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонауч. дисциплин, по существу одновременно с интегральным, исчислением и дифференциальным исчислением.
Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница, термин "Д. у." принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление) ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному ур-нию, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С совр. точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределённого интеграла F(x) функции f(x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ матем. естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.
Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.
1) Если тело, нагретое до темп-ры Т, помещено в среду, темп-pa к-рой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение ДГ (отрицательное в случае T>0) его темп-ры за малый промежуток времени Дt с достаточной точностью выражается формулой ДT= -kTДt,
где k - постоянный коэффициент. При матем. обработке этой физ. задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами dT=-kTdt, (1) т. е. имеет место Д. у. T'=-kT, где Т' обозначает производную по t. Решить полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для ур-ния (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид T = Ce-kt, (2) где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С наз. общим решением ур-ния (1).
2) Пусть, напр., груз р массы т подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение.
[824-14.jpg]
Рис. 1.
Если x(t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x"(t). Сила mx"(t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x(t). Т. о., получается Д. у. mx"(t)=-kx(t). (3) Его решение имеет вид:
[824-15.jpg]
и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 1, в).
Теория Д. у. выделилась в самостоятельную детально разработанную науч. дисциплину в 18 в. (труды Д. Бер-нулли, Ж. Д'Аламбера и особенно Л. Эйлера).
Д. у. делятся на "обыкновенные", содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и -"уравнения с частными производными", содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. наз. наибольший порядок входящих в него производных. Так,
[824-16.jpg]
с частными производными 2-го порядка.
Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) наз. соотношение F(x, у, у') = О (А) между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной . Если ур-ние (А) может быть разрешено относительно производной, то получается ур-ние вида у'=f(x, у)- (Б) Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной ур-ний, предполагая функцию f(x,y) однозначной.
Ур-ние (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами f(x, y)dx-dy = 0, тогда оно становится частным случаем ур-ний вида
Р (х, y)dx + Q (х,у) dy = 0. (В) В ур-ниях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.
Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у(х) есть решение ур-ния (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у(х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х,у) угловой коэффициент k = f(x,y). Т. о., нахождение решений у = у(х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке нек-рой области на плоскости задано "направление", требуется найти все кривые, к-рые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f(x,y) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для
[824-17.jpg]
Рис. 2.
уравнения у' = у2. Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения - т. н. интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее ре-
[824-18.jpg]
На рис. 2 вычерчены интегральные кривые, соответствующие значениям параметра С = 0 и С = 1.
График любой однозначной функции у = у(х) пересекает каждую прямую, параллельную оси Оу, только один раз. Таковы, следовательно, интегральные кривые любого ур-ния (Б) с однозначной непрерывной функцией в правой части. Новые возможности для вида интегпаль-ных кривых открываются при переходе к ур-ниям (В). При помощи пары непрерывных функций Р(х, у) и О (х, у) можно задать любое непрерывное "поле направлений". Задача интегрирования ур-ний (В) совпадает с чисто геометрической (не зависящей от выбора осей координат) задачей разыскания интегральных кривых по заданному на плоскости полю направлений. Следует заметить, что тем точкам (x0, уо), в к-рых обе функции Р (х, у) и Q (х, у) обращаются в нуль, не соответствует к.-л. определённое направление. Такие точки наз. особыми точками уравнения (В).
Пусть, напр., задано уравнение ydx + xdy = 0, к-рoe можно записать в виде
[824-19.jpg]
хотя, строго говоря, правая часть этого последнего уравнения теряет смысл при х = 0 и у = 0. Соответствующие поле направлений и семейство интегральных кривых, являющихся в этом случае окружностями х2 + у2 = С, изображены на рис. 3.
[824-20.jpg]
|
