| 13986122 15360 8522 910 1ия общественного спроса приходится вовлекать в с.-х. оборот и относительно худшие земли, плановое ценообразование необходимо осуществлять с учётом возмещения затрат и получения необходимой прибыли х-вами, располагающими такими землями, иначе будут подорваны хозрасчётные стимулы их возделывания. Колхозы и совхозы, использующие средние и лучшие земли, получают дополнит. доход в виде разницы между общественной ценой и индивидуальной стоимостью единицы продукта. А т. к. образование этого дохода обусловлено не трудовыми усилиями отд. коллективов, а общественными факторами воспроизводства, то на основе права обще-нар. собственности на землю он изымается гос-вом в форме Д. р. I. При этом совершенно снимается антагонистич. характер изъятия, поскольку Д. р. I не становится достоянием класса зем. собственников, а поступает в общенар. фонд и используется в интересах всего общества, в т. ч. для планомерного подъёма с. х-ва. Д. р. I изымается гос-вом через закупочные цены, дифференциацию планов закупок и подоходный налог.
Д. р. II возникает в результате различной производительности добавочных вложений: её масса и норма планомерно возрастают в условиях интенсификации, науч.-технич. прогресса в с.-х. произ-ве; она почти полностью остаётся у с.-х. предприятий.
Сложившиеся в социалистич. странах различные отношения зем. собственности обусловливают и разные конкретные формы распределения Д. р. Однако сущность рентных отношений и общие принципы распределения Д. р. остаются едиными независимо от того, вся земля национализирована или часть её находится в собственности кооперативов. В правильном экономич. регулировании рентных отношений при социализме важное значение имеет эффективное применение механизма распределения Д. р., прежде всего научно обоснованное ценообразование, учитывающее специфику с. х-ва.
Д. р. существует не только в с. х-ве, но и в добывающей пром-сти, строительстве, образуется в результате различий в производительности труда, обусловленных неравенством естественных условий разработки и использования полезных ископаемых, лесных угодий и т. д. При социализме Д. р. в добывающей пром-сти принадлежит всему обществу и используется в его интересах, в т. ч. для развития угольной, рудной и др. отраслей. Как стоимостная категория Д. р. перестанет существовать с отмиранием товарного произ-ва.
Лит. см. при ст. Земельная рента.
И. Н. Буздалов.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ДИАГНОСТИЧЕСКИЕ СРЕДЫ, специальные смеси питат. веществ (см. Питательные среды), на к-рых выращивают микроорганизмы для определения их видовой принадлежности. К Д.-д. с. относятся белковые среды, применяемые для определения гемо-литич. и протеолитич. способности микробов; среды, содержащие углеводы и индикаторы изменения кислотности (в результате утилизации микробами этих соединений); среды, содержащие вещества, служащие источником питания только для определ. видов бактерий, и др.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ, раздел математики, в к-ром изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций. Оформление Д. и. в самостоятельную матем. дисциплину связано с именами И. Ньютона и Г. Лейбница (вторая половина 17 в.). Они сформулировали осн. положения Д. я. и чётко указали на взаимно обратный характер операций дифференцирования и интегрирования. С этого времени Д. и. развивается в тесной связи с интегральным исчислением, вместе с к-рым оно составляет осн. часть матем. анализа (или анализа бесконечно малых). Создание дифференциального и интегрального исчислений открыло новую эпоху в развитии математики. Оно повлекло за собой появление ряда матем. дисциплин: теорий рядов, теории дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и вариационного исчисления. Методы матем. анализа нашли применение во всех разделах математики. Неизмеримо расширилась область приложений математики к вопросам естествознания и техники. "Лишь дифференциальное исчисление дает естествознанию возможность изображать математически не только с о-стояния, но и процессы: движение" (Энгельс Ф., см. Маркс К. и Энгельс Ф., Соч., 2 изд., т. 20, с. 587).
Д. и. зиждется на следующих важнейших понятиях математики, определение и исследование к-рых составляют предмет введения в матем. анализ: действительные числа (числовая прямая), функция, предел, непрерывность. Все эти понятия выкристаллизовались и получили совр. содержание в ходе развития и обоснования дифференциального и интегрального исчислений. Осн. идея Д. и. состоит в изучении функций в малом. Точнее: Д. и. даёт аппарат для исследования функций, поведение к-рых в достаточно малой окрестности каждой точки близко к поведению линейной функции или многочлена. Таким аппаратом служат центральные понятия Д. и.: производная и дифференциал. Понятие производной возникло из большого числа задач естествознания и математики, приводящихся к вычислению пределов одного и того же типа. Важнейшие из них -определение скорости прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой. Понятие дифференциала является матем. выражением близости функции к линейной в малой окрестности исследуемой точки. В отличие от производной, оно легко переносится на отображения одного евклидова пространства в другое и на отображения произвольных линейных нормированных пространств и является одним из осн. понятий совр. нелинейного функционального анализа.
Производная. Пусть требуется определить скорость прямолинейно движущейся материальной точки. Если движение равномерно, то пройденный точкой путь пропорционален времени движения; скорость такого движения можно определить как путь, пройденный за единицу времени, или как отношение пути, пройденного за нек-рый промежуток времени, к длительности этого промежутка. Если же движение неравномерно, то пути, пройденные точкой в одинаковые по длительности промежутки времени, будут, вообще говоря, различными. Пример неравномерного движения даёт тело, свободно падающее в пустоте. Закон движения такого тела выражается формулой s= gt2/2, где s -пройденный путь с начала падения (в метрах), t - время падения (в секундах), g - постоянная величина, ускорение свободного падения, g ~~ 9,81 м/сек2. За первую секунду падения тело пройдёт ок. 4,9 м, за вторую - ок. 14,7 м, а за десятую - ок. 93,2 м, т. е. падение происходит неравномерно. Поэтому приведённое выше определение скорости здесь неприемлемо. В этом случае рассматривается средняя скорость движения за нек-рый промежуток времени после (или до) фиксированного момента t; она определяется как отношение длины пути, пройденного за этот промежуток времени, к его длительности. Эта средняя скорость зависит не только от момента t, но и от выбора промежутка времени. В нашем примере средняя скорость падения за промежуток времени от t до t + Дt равна
[824-1.jpg]
Это выражение при неограниченном уменьшении промежутка времени Дt приближается к величине gt, к-рую называют скоростью движения в момент времени t. Таким образом, скорость движения в к.-л. момент времени определяется как предел средней скорости, когда промежуток времени неограниченно уменьшается.
В общем случае эти вычисления надо проводить для любого момента времени t, промежутка времени от t до t + At и закона движения, выражаемого формулой s = f(t). Тогда средняя скорость движения за промежуток времени от t aot + At даётся формулой Дs/Дt, где Дs = - f(t + Дt) - f(t), а скорость движения в момент времени t равна
[824-2.jpg]
Осн. преимущество скорости в данный момент времени, или мгновенной скорости, перед средней скоростью состоит в том, что она, как и закон движения, является функцией времени t, а не функцией интервала (f,t + Дt). С другой стороны, мгновенная скорость представляет собой некоторую абстракцию, поскольку непосредственному измерению поддаётся средняя, а не мгновенная скорость.
К выражению типа (*) приводит и задача (см. рис.) построения касательной к плоской кривой в нек-рой её точке М. Пусть кривая Г есть график функции у = f(x). Положение касательной будет определено, если будет найден её угловой коэффициент, т. е. тангенс угла а, образованного касательной с осью Ох. Обозначим через х<, абсциссу точки М, а через х1= ха + Дх - абсциссу точки M1. Угловой коэффициент секущей MM1равен
[824-3.jpg]
[824-4.jpg]
где Ду = М1N = f(x0 + Дх) - f(x0) -приращение функции на отрезке [х0,х1]. Определяя касательную в точке М как предельное положение секущей MM1, когда х1 стремится к х0, получаем
[824-5.jpg]
Отвлекаясь от механич. или геом.содержания приведённых задач и выделяя общий для них приём решения, приходят к понятию производной. Производной функции у = f(x) в точке х наз. предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю, так что
[824-6.jpg]
С помощью производной определяется, кроме уже рассмотренных, ряд важных понятий естествознания. Напр., сила тока
[824-7.jpg]
менение количества вещества за время Д?; вообще, производная по времени есть мера скорости процесса, применимая к самым разнообразным физ. величинам.
Производную функции у = f (х) обозначают f'(х), у', dy/dx, df/dx или Df (x). Если функция y = f(x) имеет в точке х0 производную, то она определена как в самой точке Ха, так и в нек-рой окрестности этой точки и непрерывна в точке ха. Обратное заключение было бы, однако, неверным. Напр., непрерывная в каждой точке функция у =|х| = + КОРЕНЬ(х2), графиком к-рой служат биссектрисы первого и второго координатных углов, при х = 0 не имеет производной, т. к. отношение Дy//Дx не имеет предела при Дх->0: если Дх> 0, это отношение равно + 1, а если Дx<0, то оно равно -1. Более того, существуют непрерывные функции, не имеющие производной ни в одной точке (см. Непрерывная функция).
Операцию нахождения производной называют дифференцированием. На классе функций, имеющих производную, эта операция линейна.
[824-8.jpg]
Здесь С, п и а - постоянные, я>0. Эта таблица, в частности, показывает, что производная от всякой элементарной функции есть снова элементарная функция.
Если производная f'(x), в свою очередь, имеет производную, то её называют второй производной функции у = f(x) и обозначают
у", f"(x), d2y/dx2, d2f/dx2 или D2f(x). Для прямолинейно движущейся точки вторая производная характеризует её ускорение.
Аналогично определяются и производные.более высокого (целого) порядка. Производная порядка п обозначается уn, fn(x), dny/dxn, dnf/dxnили Dnf(x).
Дифференциал. Функция у = f(x), область определения к-рой содержит нек-рую окрестность точки х0, наз. дифференцируемой в точке х0, если её приращение
[824-9.jpg]
где А=А(х0), а= a(x,х0)->0 при х->хо. В этом и только в этом случае выражение АДх наз. дифференциалом функции f(x) в точке ха и обозначается dy или df(xo). Геометрически дифференциал (при фиксированном значении -г0 и меняющемся приращении Дх) изображает приращение ординаты касательной, т. е. отрезок NT (см. рис.). Дифференциал dy представляет собой функцию как от точки х0, так и от приращения Дх. Говорят, что дифференциал есть главная линейная часть приращения функции, понимая под этим, что, при фиксированном х0, dy есть линейная функция от Дх; и разность Дy - dy есть бесконечно малая относительно Дх. Для функции f(x) = х имеем dx = Дх, т. е. дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением. Поэтому обычно пишут dy = Adx. Имеется тесная связь между дифференциалом функции и её производной. Для того чтобы функция от одного п е-ременного y= f(x) имела в точке х0дифференциал, необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке (конечную) производную f'(х0), и справедливо равенство dy = f (х0)dx. Наглядный смысл этого предложения состоит в том, что касательная к кривой y - f(x) в точке с абсциссой х0 как предельное положение секущей является также такой прямой, к-рая в бесконечно малой окрестности точки х0 примыкает к кривой более тесно, чем любая другая прямая. Таким образом, всегда А(х0) = f'(xa), запись dy/dx можно понимать не только как обозначение для производной f'(х0), но и как отношение дифференциалов зависимого и независимого переменных. В силу равенства dy = f'(х0)dx правила нахождения дифференциалов непосредственно вытекают из соответствующих правил нахождения производных.
Рассматриваются также дифференциалы высших порядков. На практике с помощью дифференциалов часто производят приближённые вычисления значений функции, а также оценивают погрешности вычислений. Пусть, напр., надо вычислить значение функции f(x) в точке х, если известны f(xo) и f'(xo). Заменяя приращение функции её дифференциалом, получают приближённое равенство f(x1)~~f(х0)+df(х0)=f(х0)+f'(х0)+(х1-х0)
Погрешность этого равенства приближённо равна половине второго дифференциала функции, т. е.
[824-10.jpg]
Приложения. В Д. и. устанавливаются связи между свойствами функции и её производных (или дифференциалов), выражаемые основными теоремами Д. и. К их числу относятся Ролля теорема, формула Лагранжа f(a) - f(b) = f'(c) (b-а), где a < с < b (подробнее см. Конечных приращений формула), и Тейлора формула.
Эти предложения позволяют методами Д. и. провести подробное исследование поведения функций, обладающих достаточной гладкостью (т. е. имеющих производные достаточно высокого порядка). Таким путём удаётся исследовать степень гладкости, выпуклость и вогнутость, возрастание и убывание функций, их экстремумы, найти их асимптоты, точки перегиба (см. Перегиба точка), вычислить кривизну кривой, выяснить характер её особых точек и т. д. Напр., условие f'(x)>0 влечёт за собой (строгое) возрастание функции у = f(x), а условие f"(x) >0 -её (строгую) выпуклость. Все точки экстремума дифференцируемой функции, принадлежащие внутренности её области определения, находятся среди корней уравнения f'(x) = 0.
Исследование функций при помощи производных составляет основное приложение Д. и. Кроме того, Д. и. позволяет вычислять различного рода пределы функций, в частности пределы вида О/С и БЕСКОНЕЧНОСТЬ/БЕСКОНЕЧНОСТЬ (см. Неопределённое выражение, Лопиталя правило). Д. и. особенно удобно для исследования элементарных функций, т. к. в этом случае их производные выписываются в явной форме.
Д. и. функций многих переменных. Методы Д. и. применяются для изучения функций нескольких переменных. Для функции двух независимых переменных z = f (х,у) частной производной по х наз. производная этой функции по .г при постоянном у. Эта частная производная обозначается z'x, f'x(x,y), dz/dx или df(x,y)/dx, так что
[824-11.jpg]
Аналогично определяется и обозначается частная производная z по у. Величина
Дz = f(x + Дx,y + Дy) - f(x,y) наз. полным приращением функции z= f(x,y). Если его можно представить в виде
[824-12.jpg]
где а - бесконечно малая более высокого порядка, чем расстояние между точками (х,у) и (x + Дx,у + Дy), то говорят, что функция z=f(x,y) дифференцируема. Слагаемые АДх + ВДу образуют полный дифференциал dz функции z = f(x,y), причём А = z'x, B = z'y. Вместо Д.Т и Ду обычно пишут dx и dy, так что
[824-13.jpg]
Геометрически дифференцируемость функции дв |
