| 13986122 15360 8522 910 1ния.
[823-34.jpg]
По аналогии с кривыми исследуется локальное строение формы поверхностей. В каждой точке М достаточно гладкой поверхности S можно построить касательную плоскость у и однозначно определённый соприкасающийся параболоид л (рис. 7), к-рый может выродиться в параболич. цилиндр или плоскость. При этом касательную плоскость можно рассматривать как плоскость, наиболее тесно прилегающую к S вблизи М.
[823-35.jpg]
Рис. 7
Соприкасающийся же параболоид характеризуется тем, что в окрестности точки М он совпадает с S с точностью до величин третьего порядка малости по сравнению с размерами этой окрестности. С помощью соприкасающихся параболоидов точки М поверхностей классифицируются следующим образом: эллиптическая (рис. 8) (соприкасающийся параболоид -эллиптический), гиперболическая (рис. 9) (соприкасающийся параболоид - гиперболический), параболическая (рис. 10) (соприкасающийся параболоид - параболический цилиндр), точка уплощения (рис. 11) (соприкасающийся параболоид - плоскость).
[823-36.jpg]
Обычно для исследования строения поверхности используются т. н. первая и вторая основные квадратичные формы поверхности.
Пусть поверхность S определена пара-метрич. уравнениями: x= ф(u, v), y = w(u,v), z = x(u,v). (2) При фиксированном значении v уравнения (2) определяют на S линию, называемую координатной линией и. Аналогично определяется линия v. Координатные линии и и v образуют на S параметрическую сеть (если, напр., сферу радиуса 1 задать па-раметрич. ур-ниями х = cos и cos v, у =cos и sin v, z = sin u, то параметрич. сетью линий и и v будут меридианы и параллели этой сферы). Величины и и v наз. также внутренними координатами, т. к. точка на поверхности есть точка пересечения проходящих через неё координатных линий, т. е. может быть найдена путём построений на поверхности без обращения к объемлющему пространству.
Радиус-вектор г произвольной точки М на S определяется уравнениями (2) как функция и и V. Частные производные ru и rv этой функции суть векторы, касательные соответственно к линиям и и и. Эти векторы в точке М лежат в касательной плоскости к S в М. Векторное произведение [ru,rv] определяет нормаль к S в точке М.
Пусть s - длина дуги линии L на S и пусть и = f(t), v = g(t) - параметрич. ур-ния во внутр. координатах. Тогда, вдоль Lr и s будут функциями от г, причём дифференциал s определяется равенством ds2 = dx2 + dy2 + dz2, правая часть к-рого есть скалярный квадрат вектора dr= rudu + rvdv, т. е. ds2 = dr2. Поэтому ds2= rudu2 + 2ru rv dudv + r2v,dv С помощью обозначений r2u== Е, rurv= F, г2v = G выражение для ds2 можно записать в виде ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2. (3) Правая часть соотношения (3) наз. первой основной квадратичной формой поверхности S. С помощью этой формы можно измерять длины дуг на поверхности путём интегрирования выражения
[823-37.jpg]
вдоль рассматриваемой дуги. Поэтому форма (3) наз. также метрической формой поверхности. Первая форма определяет также внутреннюю геометрию поверхности, т. е. совокупность фактов, к-рые могут быть получены путём измерений на поверхности, без обращения к объемлющему пространству. Внутр. геометрия поверхности не меняется при её изгибании - деформации поверхности как абсолютно гибкой и нерастяжимой плёнки.
Вторая основная квадратичная форма поверхности представляет собой выражение Ldu2 + 2Mdudv + Ndv2, в котором L = ruun, М = ruun, N = rvvп (п - единичный вектор нормали к S в точке М). С помощью второй формы можно получить представление о пространственной форме поверхности. Напр., кривизны 1/К нормальных сечений поверхности в данной точке М (т. е. линий пересечения S с плоскостями, проходящими через нормаль в М) вычисляются по формуле
[823-38.jpg]
Две основные формы поверхности, заданные в к.-л. внутр. координатах, определяют поверхность с точностью до положения в пространстве. Если заданы две формы
[823-39.jpg]
первая из к-рых положительная, а коэфф. L, M и N второй удовлетворяют нек-рой системе уравнений, из к-рых одно (полученное К. Гауссом) алгебраическое, а два других (полученные К. М. Петерсоном)-линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка, то найдётся поверхность, для к-рой эти формы являются соответственно первой и второй основными формами.
Отмеченные уравнения Гаусса - Пе-терсона играют фундаментальную роль в теории поверхностей.
Подробнее о поверхностях см. Поверхностей теория.
Одним из объектов исследований в Д.г. являются семейства кривых и поверхностей. Такие семейства задаются посредством уравнений, содержащих параметры. Напр., ур-ние (х - а)2 + у2 = 1, содержащее параметр а, определяет семейство окружностей радиуса 1 с центрами в точках (а, 0), т. е. на оси Оx (рис. 12).
[823-40.jpg]
Рис. 12.
С семейством кривых (поверхностей) связано понятие огибающей - такой кривой (поверхности), к-рая касается всех кривых (поверхностей) семейства. В рассмотренном выше примере огибающей будет пара параллельных оси Ох прямых, отстоящих от неё на расстоянии 1. Особенно детально в Д. г. исследованы двупараметрич. семейства прямых b в пространстве, называемые конгруэнция м и. Простейший пример конгруэнции - семейство параллельных прямых в пространстве. Истоком теории конгруэнции является геометрическая оптика.
Различные разделы Д. г. посвящены изучению во всевозможных аспектах т. н. дифференциально-геометрических многообразий. Примерами таких многообразий могут служить кривые (одномерные многообразия), поверхности (двумерные многообразия), обычное евклидово пространство (трёхмерное многообразие). Более сложным примером может служить четырёхмерное многообразие, элементами к-рого являются прямые обычного "евклидова пространства (прямая в декартовых координатах определяется ур-ниями вида z = ах + b, z ~ су + d, числа а, b, с, d можно рассматривать как координаты этой прямой).
Изучение дифференциально-геометрич. многообразий ведётся по след. основным направлениям. 1) Геометрия транзитивной группы отображений многообразия на себя, или геометрия "локальной группы" отображений. В тематику этих вопросов входят обычная классич. локальная Д. г. (изучение инвариантов группы движений евклидова пространства), аффинная, проективная и конформная геометрии (изучение инвариантов соответствующей группы преобразований). 2) Геометрия многообразий с римановой метрикой (рима-новых пространств), представляющая собой обобщение на многомерный случай внутренней геометрии поверхностей, к-рое можно рассматривать как двумерные римановы пространства. Геометрия римановых пространств играет важную роль в теории относительности. 3) Геометрия т. н, финслеровых пространств, являющихся обобщением римановых пространств. 4) Геометрия многообразий со связностью, т. е. многообразий, в к-рых указан способ, с помощью к-рого можно сравнивать геометрии, образы, расположенные в касательных пространствах в разных точках.
Возникновение Д. г. связано с именами Л. Эйлера и Г. Монжа. Ими к концу 18 в. были получены важные факты теории поверхностей. Значит, вклад в развитие Д. г. сделан в нач. 19 в. К .Гауссом, к-рый ввёл обе основные квадратичные формы. Им же была доказана теорема об инвариантности полной кривизны относительно изометрич. преобразований, фактически им были заложены основы внутр. геометрии поверхностей. Построение основ классич. теории поверхностей было завершено в сер. 19 в. основателем моек, геометрич. школы К. М. Петерсоном. В сер. и во 2-й пол. 19 в. много глубоких и общих результатов по классич. теории поверхностей было получено Ф. Миндин-гом, Ж. Лиувиллем, Э. Бельтрами, Ж. Г. Дарбу, Л. Бианки. Ряд замечат. результатов по классич. Д. г. был получен рус. учёными Д. Ф. Егоровым, Н. Н. Лузиным, С. П. Финиковым и др.
Развитие др. направлений в Д. г. связано с именами Б.Римана, Г. Ламе, Ф. Клейна, Г. Вейля, Э. Картона.
В СССР разрабатывались различные направления Д. г.; наибольшие успехи относятся к области проблем "в целом" (А. Д. Александров, А.В. Погорелое и др.).
Лит.: Монж Г., Приложение анализа к геометрии, пер. с франц., М.- Л., 1936; Стройк Д. Д ж., Очерк истории дифференциальной геометрии до XX столетия, пер. с англ., М. -Л., 1941; Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 3 изд., М., 1950; Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 2 изд., М., 1964; Александров А. Д., Внутренняя геометрия выпуклых поверхностей, М.- Л., 1948; Погорелов А. В..Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969.
Э. Г. Лозняк.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ПСИХОЛОГИЯ, отрасль психологии, изучающая индивидуальные различия между людьми. Предпосылкой возникновения Д. п. на рубеже 19 и 20 вв. явилось введение в психологию эксперимента, а также гене-тич. и математич. методов. Пионером разработки Д. п. был Ф. Гальтон (Великобритания), к-рый изобрёл ряд приёмов и приборов для изучения индивидуальных различий. В. Штерн (Германия) ввёл самый термин "Д. п." (1900). Первыми крупными представителями Д. п. были А. Бине (Франция), А. Ф. Лазурский (Россия), Дж. Кеттел (США) и др.
В Д. п. широко применяются тесты -как индивидуальные, так и групповые; они используются для определения умственных различий, а с изобретением т. н. проективных тестов - для определения интересов, установок, эмоциональных реакций. С помощью тестов методами факторного анализа выявляются факторы, характеризующие общие свойства (параметры, измерения) интеллекта или личности. На этом основании определяются количеств, вариации в психология, свойствах отд. индивидов.
Вопрос о причинах психологич. различий явился предметом острейших дискуссий на протяжении всей истории Д. п. и прежде всего - проблема соотношения биол. и социально-культурных факторов в формировании индивидуальных особенностей человека. В 50-60-х гг. 20 в. для Д. п. характерно интенсивное развитие новых подходов и методов - как экспериментальных, так и математических. Совершенствуется техника статис-тич. анализа тестов (Дж. Гилфорд, США; Р. Кеттел, Великобритания), изучается роль ценностной ориентации личности, детально выявляются психологич. аспекты возрастных и половых различий.
Наряду с различиями между индивидами в умств. отношении широко исследуются различия в творч. и организаторских способностях, общей структуре личности, сфере мотивации. Изучаются корреляции между психологич. свойствами, с одной стороны, и физиологическими - с другой (У. Шелдон, Г. Айзенк -Великобритания). В СССР работа в этом направлении ведётся в ряде лабораторий - в Ин-те психологии АПН СССР (исследования, проводившиеся Б. М. Тепловым и его сотрудниками на основе учения И. П. Павлова о типах высшей нервной деятельности), Ленингр. и Пермском ун-тах и др.
Факты и выводы Д. п. важны для решения мн. практич. задач (отбор и обучение персонала, диагностика и прогностика развития отд. свойств, склонностей, способностей индивидов и др.).
Лит.: Теплое Б. М., Проблемы индивидуальных различий, М., 1961; Р i ё-гоп Н., La psychologic differentielle, 2 ed., P., 1962; Anastasi A., Differential psychology, 3 ed., N.Y., 1958. М. Г. Ярошевский.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ РЕНТА, При капитализме добавочная прибыль, возникающая в результате затрат труда на средних и лучших земельных участках или при повышающейся производительности добавочных вложений капитала, присваивается собственником земли; одна из форм земельной ренты, к-рая порождается монополией на землю как объект капиталистич. х-ва. Источник её - излишек прибавочной стоимости, создаваемой трудом с.-х. наёмных рабочих над средней прибылью, возникающий вследствие более высокой производительности труда на относительно лучших земельных участках (более плодородных или ближе расположенных к месту сбыта либо таких, в к-рые вложен дополнит, капитал). Различают Д. р. I и Д. р. И. Д. р. I связана с различиями в плодородии и местоположении зем. участков. Индивидуальная цена производства единицы земледельч. продукта с лучших участков оказывается более низкой, т. к. труд, приложенный к более плодородной почве, при прочих равных условиях более производителен или расходы по доставке на рынок с.-х. товаров с ближе расположенных к нему зем. участков ниже, чем с более отдалённых. Реализуются же с.-х. товары по общественной цене произ-ва, к-рая в с. х-ве выражает общественную стоимость этих товаров и определяется условиями произ-ва на худших зем. участках. Это обусловливается тем, что количество земли ограничено, а с.-х. продуктов, производимых только на относительно лучших участках, недостаточно для покрытия общественного спроса на них, рынок предъявляет спрос также на продукты, производимые на средних и худших участках. Капиталистич. фермеры, ведущие х-во на лучших и средних землях, реализуя продукцию по рыночным ценам, получают добавочную прибыль, к-рая в форме Д. р. на основе права собственности на землю присваивается землевладельцем (независимо от того, является им частное лицо или капиталистич. гос-во). Д. р. I исторически возникла раньше Д. р. II, растёт с развитием экстенсивного земледелия, а также по мере развития сети путей сообщения и пром. центров.
Д. р. II представляет собой добавочную прибыль, возникающую в результате последовательных вложений капитала в землю. Она неразрывно связана с интенсификацией с. х-ва, является её важнейшим экономия, результатом. Повышение массы и нормы Д. р. II выражает рост производительности добавочных вложений капитала, тенденция к к рому, вопреки т. н. закону убывающего плодородия почвы (см. "Убывающего плодородия почвы закон"), в условиях научно-технич. прогресса становится главной и определяющей. Получаемая в результате добавочных вложений капитала сверхприбыль до окончания арендного договора достаётся фермеру-арендатору. Но при заключении нового арендного договора землевладелец, в силу господства монополии частной собственности на землю, присваивает себе эту добавочную прибыль путём повышения арендной платы, т. е. получает часть Д. р. II. Это является основой борьбы капиталистов-арендаторов с землевладельцами за сроки аренды земли.
Д. р. и рентные отношения сохраняются и при социализме. Материальную основу Д. р. составляет дополнит, чистый доход, образующийся на относительно лучших и удобно расположенных землях или при повышающейся производительности добавочных вложений. Наличие при социализме товарно-ден. отношений и монопольное пользование землёй как объектом х-ва обусловливают превращение этого дохода в Д. р. и ведут к возникновению рентных отношений. Однако соци-ально-экономич. содержание Д. р. в условиях господства социалистич. собственности на средства произ-ва коренным образом меняется. Социалистич. строй устраняет социально-классовые антагонизмы в рентных отношениях, неизбежные между собственником земли, капиталистом-предпринимателем и наёмным рабочим в условиях капиталистич. способа произ-ва.
Источником Д. р. I является дополнит. чистый доход, получаемый в результате более высокой производительности труда на лучших по плодородию и местоположению зем. участках. Т. к. для удовлетворен |
